Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8468 / 8499
↖ ↑ ↗
← S  6.730076°
E  6.064453°		 ← 2 426.44 m → S  6.730076°
E  6.086426°		 →
↑
2 426.33 m
↓
↑
2 426.33 m
↓
S  6.751896°
E  6.064453°		 ← 2 426.33 m →
5 887 222 m²		 S  6.751896°
E  6.086426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516876220703125 y=0.518768310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516876220703125 × 214)
    floor (0.516876220703125 × 16384)
    floor (8468.5)     		tx = 8468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518768310546875 × 214)
    floor (0.518768310546875 × 16384)
    floor (8499.5)     		ty = 8499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8468 / 8499 ti = "14/8468/8499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8468/8499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8468 ÷ 214
    8468 ÷ 16384     		x = 0.516845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8499 ÷ 214
    8499 ÷ 16384     		y = 0.51873779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516845703125 × 2 - 1) × π
    0.03369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10584467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51873779296875 × 2 - 1) × π
    -0.0374755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.117733025466858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10584467} λ = 0.10584467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.117733025466858))-π/2
    2×atan(0.888933343502272)-π/2
    2×0.726667173400349-π/2
    1.4533343468007-1.57079632675     		φ = -0.11746198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10584467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.064453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11746198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.730076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8468 KachelY 8499 0.10584467 -0.11746198 6.064453 -6.730076
    Oben rechts KachelX + 1 8469 KachelY 8499 0.10622817 -0.11746198 6.086426 -6.730076
    Unten links KachelX 8468 KachelY + 1 8500 0.10584467 -0.11784282 6.064453 -6.751896
    Unten rechts KachelX + 1 8469 KachelY + 1 8500 0.10622817 -0.11784282 6.086426 -6.751896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11746198--0.11784282) × R
    0.000380840000000007 × 6371000     		dl = 2426.33164000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11746198--0.11784282) × R
    0.000380840000000007 × 6371000     		dr = 2426.33164000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10584467-0.10622817) × cos(-0.11746198) × R
    0.000383499999999995 × 0.993109269894725 × 6371000     		do = 2426.44252728445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10584467-0.10622817) × cos(-0.11784282) × R
    0.000383499999999995 × 0.99306456645326 × 6371000     		du = 2426.33330432704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11746198)-sin(-0.11784282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993109269894725-0.99306456645326)×R²
    abs(0.10622817-0.10584467)×4.47034414644554e-05×R²
    0.000383499999999995×4.47034414644554e-05×6371000²
    0.000383499999999995×4.47034414644554e-05×40589641000000     		ar = 5887221.84218966m²