Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8467 / 8498
↖ ↑ ↗
← S  6.708254°
E  6.042481°		 ← 2 426.49 m → S  6.708254°
E  6.064453°		 →
↑
2 426.46 m
↓
↑
2 426.46 m
↓
S  6.730076°
E  6.042481°		 ← 2 426.38 m →
5 887 642 m²		 S  6.730076°
E  6.064453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516815185546875 y=0.518707275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516815185546875 × 214)
    floor (0.516815185546875 × 16384)
    floor (8467.5)     		tx = 8467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518707275390625 × 214)
    floor (0.518707275390625 × 16384)
    floor (8498.5)     		ty = 8498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8467 / 8498 ti = "14/8467/8498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8467/8498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8467 ÷ 214
    8467 ÷ 16384     		x = 0.51678466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8498 ÷ 214
    8498 ÷ 16384     		y = 0.5186767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51678466796875 × 2 - 1) × π
    0.0335693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10546118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5186767578125 × 2 - 1) × π
    -0.037353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.117349530269897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10546118} λ = 0.10546118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.117349530269897))-π/2
    2×atan(0.889274310545356)-π/2
    2×0.726857603992466-π/2
    1.45371520798493-1.57079632675     		φ = -0.11708112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10546118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.042481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11708112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.708254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8467 KachelY 8498 0.10546118 -0.11708112 6.042481 -6.708254
    Oben rechts KachelX + 1 8468 KachelY 8498 0.10584467 -0.11708112 6.064453 -6.708254
    Unten links KachelX 8467 KachelY + 1 8499 0.10546118 -0.11746198 6.042481 -6.730076
    Unten rechts KachelX + 1 8468 KachelY + 1 8499 0.10584467 -0.11746198 6.064453 -6.730076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11708112--0.11746198) × R
    0.000380859999999997 × 6371000     		dl = 2426.45905999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11708112--0.11746198) × R
    0.000380859999999997 × 6371000     		dr = 2426.45905999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10546118-0.10584467) × cos(-0.11708112) × R
    0.00038349 × 0.993153831632787 × 6371000     		do = 2426.4881301904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10546118-0.10584467) × cos(-0.11746198) × R
    0.00038349 × 0.993109269894725 × 6371000     		du = 2426.37925629289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11708112)-sin(-0.11746198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993153831632787-0.993109269894725)×R²
    abs(0.10584467-0.10546118)×4.4561738062221e-05×R²
    0.00038349×4.4561738062221e-05×6371000²
    0.00038349×4.4561738062221e-05×40589641000000     		ar = 5887642.0896245m²