Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8465 / 8463
↖ ↑ ↗
← S  5.943900°
E  5.998535°		 ← 2 430.08 m → S  5.943900°
E  6.020508°		 →
↑
2 430.03 m
↓
↑
2 430.03 m
↓
S  5.965753°
E  5.998535°		 ← 2 429.98 m →
5 905 041 m²		 S  5.965753°
E  6.020508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516693115234375 y=0.516571044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516693115234375 × 214)
    floor (0.516693115234375 × 16384)
    floor (8465.5)     		tx = 8465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516571044921875 × 214)
    floor (0.516571044921875 × 16384)
    floor (8463.5)     		ty = 8463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8465 / 8463 ti = "14/8465/8463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8465/8463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8465 ÷ 214
    8465 ÷ 16384     		x = 0.51666259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8463 ÷ 214
    8463 ÷ 16384     		y = 0.51654052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51666259765625 × 2 - 1) × π
    0.0333251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10469419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51654052734375 × 2 - 1) × π
    -0.0330810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.103927198376282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10469419} λ = 0.10469419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.103927198376282))-π/2
    2×atan(0.901290910474532)-π/2
    2×0.733527854364484-π/2
    1.46705570872897-1.57079632675     		φ = -0.10374062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10469419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.998535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10374062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.943900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8465 KachelY 8463 0.10469419 -0.10374062 5.998535 -5.943900
    Oben rechts KachelX + 1 8466 KachelY 8463 0.10507768 -0.10374062 6.020508 -5.943900
    Unten links KachelX 8465 KachelY + 1 8464 0.10469419 -0.10412204 5.998535 -5.965753
    Unten rechts KachelX + 1 8466 KachelY + 1 8464 0.10507768 -0.10412204 6.020508 -5.965753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10374062--0.10412204) × R
    0.000381419999999993 × 6371000     		dl = 2430.02681999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10374062--0.10412204) × R
    0.000381419999999993 × 6371000     		dr = 2430.02681999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10469419-0.10507768) × cos(-0.10374062) × R
    0.00038349 × 0.994623766114501 × 6371000     		do = 2430.07949585645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10469419-0.10507768) × cos(-0.10412204) × R
    0.00038349 × 0.994584195954369 × 6371000     		du = 2429.98281745597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10374062)-sin(-0.10412204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994623766114501-0.994584195954369)×R²
    abs(0.10507768-0.10469419)×3.95701601315634e-05×R²
    0.00038349×3.95701601315634e-05×6371000²
    0.00038349×3.95701601315634e-05×40589641000000     		ar = 5905040.95569935m²