Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 843 / 951
↖ ↑ ↗
← S 82.261699°
E116.367187°		 ← 5 263.68 m → S 82.261699°
E116.718750°		 →
↑
5 247.73 m
↓
↑
5 247.73 m
↓
S 82.308893°
E116.367187°		 ← 5 231.78 m →
27 538 670 m²		 S 82.308893°
E116.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82373046875 y=0.92919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82373046875 × 210)
    floor (0.82373046875 × 1024)
    floor (843.5)     		tx = 843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.92919921875 × 210)
    floor (0.92919921875 × 1024)
    floor (951.5)     		ty = 951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 843 / 951 ti = "10/843/951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/843/951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 843 ÷ 210
    843 ÷ 1024     		x = 0.8232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 951 ÷ 210
    951 ÷ 1024     		y = 0.9287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8232421875 × 2 - 1) × π
    0.646484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03099056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9287109375 × 2 - 1) × π
    -0.857421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.6936702634502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03099056} λ = 2.03099056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6936702634502))-π/2
    2×atan(0.0676322550886032)-π/2
    2×0.0675294177819463-π/2
    0.135058835563893-1.57079632675     		φ = -1.43573749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03099056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.367187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43573749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.261699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 843 KachelY 951 2.03099056 -1.43573749 116.367187 -82.261699
    Oben rechts KachelX + 1 844 KachelY 951 2.03712649 -1.43573749 116.718750 -82.261699
    Unten links KachelX 843 KachelY + 1 952 2.03099056 -1.43656118 116.367187 -82.308893
    Unten rechts KachelX + 1 844 KachelY + 1 952 2.03712649 -1.43656118 116.718750 -82.308893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43573749--1.43656118) × R
    0.000823690000000044 × 6371000     		dl = 5247.72899000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43573749--1.43656118) × R
    0.000823690000000044 × 6371000     		dr = 5247.72899000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03099056-2.03712649) × cos(-1.43573749) × R
    0.00613593000000012 × 0.134648612232741 × 6371000     		do = 5263.68489992801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03099056-2.03712649) × cos(-1.43656118) × R
    0.00613593000000012 × 0.133832377654437 × 6371000     		du = 5231.77664960612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43573749)-sin(-1.43656118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134648612232741-0.133832377654437)×R²
    abs(2.03712649-2.03099056)×0.000816234578303987×R²
    0.00613593000000012×0.000816234578303987×6371000²
    0.00613593000000012×0.000816234578303987×40589641000000     		ar = 27538670.4754649m²