Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8423 / 8488
S  6.489983°
E  5.075684°
← 2 427.62 m → S  6.489983°
E  5.097656°

2 427.54 m

2 427.54 m
S  6.511815°
E  5.075684°
← 2 427.52 m →
5 893 025 m²
S  6.511815°
E  5.097656°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514129638671875 y=0.518096923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514129638671875 × 214)
    floor (0.514129638671875 × 16384)
    floor (8423.5)
    tx = 8423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518096923828125 × 214)
    floor (0.518096923828125 × 16384)
    floor (8488.5)
    ty = 8488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8423 / 8488 ti = "14/8423/8488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8423/8488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8423 ÷ 214
    8423 ÷ 16384
    x = 0.51409912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8488 ÷ 214
    8488 ÷ 16384
    y = 0.51806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.51409912109375 × 2 - 1) × π
    0.0281982421875 × 3.1415926535
    Λ = 0.08858739
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.51806640625 × 2 - 1) × π
    -0.0361328125 × 3.1415926535
    Φ = -0.113514578300293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08858739} λ = 0.08858739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.113514578300293))-π/2
    2×atan(0.892691182396198)-π/2
    2×0.728762374621731-π/2
    1.45752474924346-1.57079632675
    φ = -0.11327158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08858739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.075684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11327158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.489983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8423 KachelY 8488 0.08858739 -0.11327158 5.075684 -6.489983
    Oben rechts KachelX + 1 8424 KachelY 8488 0.08897089 -0.11327158 5.097656 -6.489983
    Unten links KachelX 8423 KachelY + 1 8489 0.08858739 -0.11365261 5.075684 -6.511815
    Unten rechts KachelX + 1 8424 KachelY + 1 8489 0.08897089 -0.11365261 5.097656 -6.511815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.11327158--0.11365261) × R
    0.000381030000000004 × 6371000
    dl = 2427.54213000003m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.11327158--0.11365261) × R
    0.000381030000000004 × 6371000
    dr = 2427.54213000003m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.08858739-0.08897089) × cos(-0.11327158) × R
    0.000383499999999995 × 0.993591630835469 × 6371000
    do = 2427.62106940021m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.08858739-0.08897089) × cos(-0.11365261) × R
    0.000383499999999995 × 0.993548491073892 × 6371000
    du = 2427.51566694825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.11327158)-sin(-0.11365261))×
    abs(λ12)×abs(0.993591630835469-0.993548491073892)×
    abs(0.08897089-0.08858739)×4.31397615772156e-05×
    0.000383499999999995×4.31397615772156e-05×6371000²
    0.000383499999999995×4.31397615772156e-05×40589641000000
    ar = 5893024.55849596m²