Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8423 / 8487
↖ ↑ ↗
← S  6.468151°
E  5.075684°		 ← 2 427.73 m → S  6.468151°
E  5.097656°		 →
↑
2 427.67 m
↓
↑
2 427.67 m
↓
S  6.489983°
E  5.075684°		 ← 2 427.62 m →
5 893 589 m²		 S  6.489983°
E  5.097656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514129638671875 y=0.518035888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514129638671875 × 214)
    floor (0.514129638671875 × 16384)
    floor (8423.5)     		tx = 8423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.518035888671875 × 214)
    floor (0.518035888671875 × 16384)
    floor (8487.5)     		ty = 8487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8423 / 8487 ti = "14/8423/8487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8423/8487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8423 ÷ 214
    8423 ÷ 16384     		x = 0.51409912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8487 ÷ 214
    8487 ÷ 16384     		y = 0.51800537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51409912109375 × 2 - 1) × π
    0.0281982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.08858739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51800537109375 × 2 - 1) × π
    -0.0360107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.113131083103333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08858739} λ = 0.08858739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.113131083103333))-π/2
    2×atan(0.893033590828814)-π/2
    2×0.728952897555457-π/2
    1.45790579511091-1.57079632675     		φ = -0.11289053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08858739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.075684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11289053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.468151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8423 KachelY 8487 0.08858739 -0.11289053 5.075684 -6.468151
    Oben rechts KachelX + 1 8424 KachelY 8487 0.08897089 -0.11289053 5.097656 -6.468151
    Unten links KachelX 8423 KachelY + 1 8488 0.08858739 -0.11327158 5.075684 -6.489983
    Unten rechts KachelX + 1 8424 KachelY + 1 8488 0.08897089 -0.11327158 5.097656 -6.489983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11289053--0.11327158) × R
    0.000381049999999994 × 6371000     		dl = 2427.66954999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11289053--0.11327158) × R
    0.000381049999999994 × 6371000     		dr = 2427.66954999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08858739-0.08897089) × cos(-0.11289053) × R
    0.000383499999999995 × 0.993634628596597 × 6371000     		do = 2427.72612490552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08858739-0.08897089) × cos(-0.11327158) × R
    0.000383499999999995 × 0.993591630835469 × 6371000     		du = 2427.62106940021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11289053)-sin(-0.11327158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993634628596597-0.993591630835469)×R²
    abs(0.08897089-0.08858739)×4.29977611280385e-05×R²
    0.000383499999999995×4.29977611280385e-05×6371000²
    0.000383499999999995×4.29977611280385e-05×40589641000000     		ar = 5893589.34045891m²