Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8411 / 8477
↖ ↑ ↗
← S  6.249777°
E  4.812012°		 ← 2 428.69 m → S  6.249777°
E  4.833984°		 →
↑
2 428.63 m
↓
↑
2 428.63 m
↓
S  6.271618°
E  4.812012°		 ← 2 428.59 m →
5 898 265 m²		 S  6.271618°
E  4.833984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513397216796875 y=0.517425537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513397216796875 × 214)
    floor (0.513397216796875 × 16384)
    floor (8411.5)     		tx = 8411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517425537109375 × 214)
    floor (0.517425537109375 × 16384)
    floor (8477.5)     		ty = 8477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8411 / 8477 ti = "14/8411/8477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8411/8477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8411 ÷ 214
    8411 ÷ 16384     		x = 0.51336669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8477 ÷ 214
    8477 ÷ 16384     		y = 0.51739501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51336669921875 × 2 - 1) × π
    0.0267333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08398545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51739501953125 × 2 - 1) × π
    -0.0347900390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.109296131133728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08398545} λ = 0.08398545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.109296131133728))-π/2
    2×atan(0.896464907017953)-π/2
    2×0.730858575087782-π/2
    1.46171715017556-1.57079632675     		φ = -0.10907918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08398545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.812012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10907918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.249777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8411 KachelY 8477 0.08398545 -0.10907918 4.812012 -6.249777
    Oben rechts KachelX + 1 8412 KachelY 8477 0.08436894 -0.10907918 4.833984 -6.249777
    Unten links KachelX 8411 KachelY + 1 8478 0.08398545 -0.10946038 4.812012 -6.271618
    Unten rechts KachelX + 1 8412 KachelY + 1 8478 0.08436894 -0.10946038 4.833984 -6.271618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10907918--0.10946038) × R
    0.000381199999999998 × 6371000     		dl = 2428.62519999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10907918--0.10946038) × R
    0.000381199999999998 × 6371000     		dr = 2428.62519999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08398545-0.08436894) × cos(-0.10907918) × R
    0.00038349 × 0.994056762605023 × 6371000     		do = 2428.69418449611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08398545-0.08436894) × cos(-0.10946038) × R
    0.00038349 × 0.994015191805612 × 6371000     		du = 2428.59261810416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10907918)-sin(-0.10946038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994056762605023-0.994015191805612)×R²
    abs(0.08436894-0.08398545)×4.15707994108061e-05×R²
    0.00038349×4.15707994108061e-05×6371000²
    0.00038349×4.15707994108061e-05×40589641000000     		ar = 5898264.63763585m²