Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 841 / 953
↖ ↑ ↗
← S 82.355800°
E115.664063°		 ← 5 200.05 m → S 82.355800°
E116.015625°		 →
↑
5 184.27 m
↓
↑
5 184.27 m
↓
S 82.402423°
E115.664063°		 ← 5 168.52 m →
26 876 757 m²		 S 82.402423°
E116.015625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82177734375 y=0.93115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82177734375 × 210)
    floor (0.82177734375 × 1024)
    floor (841.5)     		tx = 841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93115234375 × 210)
    floor (0.93115234375 × 1024)
    floor (953.5)     		ty = 953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 841 / 953 ti = "10/841/953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/841/953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 841 ÷ 210
    841 ÷ 1024     		x = 0.8212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 953 ÷ 210
    953 ÷ 1024     		y = 0.9306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8212890625 × 2 - 1) × π
    0.642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01871872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9306640625 × 2 - 1) × π
    -0.861328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.70594210975293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01871872} λ = 2.01871872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70594210975293))-π/2
    2×atan(0.0668073543290722)-π/2
    2×0.0667082276176619-π/2
    0.133416455235324-1.57079632675     		φ = -1.43737987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01871872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.664063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43737987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.355800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 841 KachelY 953 2.01871872 -1.43737987 115.664063 -82.355800
    Oben rechts KachelX + 1 842 KachelY 953 2.02485464 -1.43737987 116.015625 -82.355800
    Unten links KachelX 841 KachelY + 1 954 2.01871872 -1.43819360 115.664063 -82.402423
    Unten rechts KachelX + 1 842 KachelY + 1 954 2.02485464 -1.43819360 116.015625 -82.402423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43737987--1.43819360) × R
    0.000813729999999957 × 6371000     		dl = 5184.27382999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43737987--1.43819360) × R
    0.000813729999999957 × 6371000     		dr = 5184.27382999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01871872-2.02485464) × cos(-1.43737987) × R
    0.00613592000000018 × 0.13302100784328 × 6371000     		do = 5200.05009804195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01871872-2.02485464) × cos(-1.43819360) × R
    0.00613592000000018 × 0.132214465332803 × 6371000     		du = 5168.52078151759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43737987)-sin(-1.43819360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13302100784328-0.132214465332803)×R²
    abs(2.02485464-2.01871872)×0.000806542510476599×R²
    0.00613592000000018×0.000806542510476599×6371000²
    0.00613592000000018×0.000806542510476599×40589641000000     		ar = 26876756.8157381m²