Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8401 / 8469
↖ ↑ ↗
← S  6.075011°
E  4.592285°		 ← 2 429.49 m → S  6.075011°
E  4.614258°		 →
↑
2 429.52 m
↓
↑
2 429.52 m
↓
S  6.096860°
E  4.592285°		 ← 2 429.40 m →
5 902 378 m²		 S  6.096860°
E  4.614258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512786865234375 y=0.516937255859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512786865234375 × 214)
    floor (0.512786865234375 × 16384)
    floor (8401.5)     		tx = 8401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516937255859375 × 214)
    floor (0.516937255859375 × 16384)
    floor (8469.5)     		ty = 8469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8401 / 8469 ti = "14/8401/8469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8401/8469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8401 ÷ 214
    8401 ÷ 16384     		x = 0.51275634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8469 ÷ 214
    8469 ÷ 16384     		y = 0.51690673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51275634765625 × 2 - 1) × π
    0.0255126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08015050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51690673828125 × 2 - 1) × π
    -0.0338134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.106228169558044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08015050} λ = 0.08015050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.106228169558044))-π/2
    2×atan(0.899219450162327)-π/2
    2×0.73238369137057-π/2
    1.46476738274114-1.57079632675     		φ = -0.10602894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08015050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.592285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10602894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.075011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8401 KachelY 8469 0.08015050 -0.10602894 4.592285 -6.075011
    Oben rechts KachelX + 1 8402 KachelY 8469 0.08053399 -0.10602894 4.614258 -6.075011
    Unten links KachelX 8401 KachelY + 1 8470 0.08015050 -0.10641028 4.592285 -6.096860
    Unten rechts KachelX + 1 8402 KachelY + 1 8470 0.08053399 -0.10641028 4.614258 -6.096860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10602894--0.10641028) × R
    0.000381339999999994 × 6371000     		dl = 2429.51713999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10602894--0.10641028) × R
    0.000381339999999994 × 6371000     		dr = 2429.51713999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08015050-0.08053399) × cos(-0.10602894) × R
    0.00038349 × 0.994384196035926 × 6371000     		do = 2429.49417469724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08015050-0.08053399) × cos(-0.10641028) × R
    0.00038349 × 0.994343766375604 × 6371000     		du = 2429.39539635318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10602894)-sin(-0.10641028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994384196035926-0.994343766375604)×R²
    abs(0.08053399-0.08015050)×4.04296603220278e-05×R²
    0.00038349×4.04296603220278e-05×6371000²
    0.00038349×4.04296603220278e-05×40589641000000     		ar = 5902377.81864407m²