Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 840 / 950
↖ ↑ ↗
← S 82.214217°
E115.312500°		 ← 5 295.78 m → S 82.214217°
E115.664063°		 →
↑
5 279.71 m
↓
↑
5 279.71 m
↓
S 82.261699°
E115.312500°		 ← 5 263.68 m →
27 875 476 m²		 S 82.261699°
E115.664063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82080078125 y=0.92822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82080078125 × 210)
    floor (0.82080078125 × 1024)
    floor (840.5)     		tx = 840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.92822265625 × 210)
    floor (0.92822265625 × 1024)
    floor (950.5)     		ty = 950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 840 / 950 ti = "10/840/950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/840/950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 840 ÷ 210
    840 ÷ 1024     		x = 0.8203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 950 ÷ 210
    950 ÷ 1024     		y = 0.927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8203125 × 2 - 1) × π
    0.640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01258279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.927734375 × 2 - 1) × π
    -0.85546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.68753434029883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01258279} λ = 2.01258279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.68753434029883))-π/2
    2×atan(0.0680485171784717)-π/2
    2×0.0679437728720556-π/2
    0.135887545744111-1.57079632675     		φ = -1.43490878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01258279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43490878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.214217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 840 KachelY 950 2.01258279 -1.43490878 115.312500 -82.214217
    Oben rechts KachelX + 1 841 KachelY 950 2.01871872 -1.43490878 115.664063 -82.214217
    Unten links KachelX 840 KachelY + 1 951 2.01258279 -1.43573749 115.312500 -82.261699
    Unten rechts KachelX + 1 841 KachelY + 1 951 2.01871872 -1.43573749 115.664063 -82.261699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43490878--1.43573749) × R
    0.000828709999999955 × 6371000     		dl = 5279.71140999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43490878--1.43573749) × R
    0.000828709999999955 × 6371000     		dr = 5279.71140999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01258279-2.01871872) × cos(-1.43490878) × R
    0.00613592999999968 × 0.135469729181416 × 6371000     		do = 5295.78401192102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01258279-2.01871872) × cos(-1.43573749) × R
    0.00613592999999968 × 0.134648612232741 × 6371000     		du = 5263.68489992763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43490878)-sin(-1.43573749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.135469729181416-0.134648612232741)×R²
    abs(2.01871872-2.01258279)×0.000821116948674566×R²
    0.00613592999999968×0.000821116948674566×6371000²
    0.00613592999999968×0.000821116948674566×40589641000000     		ar = 27875475.8440335m²