Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 839 / 955
↖ ↑ ↗
← S 82.448764°
E114.960937°		 ← 5 137.18 m → S 82.448764°
E115.312500°		 →
↑
5 121.58 m
↓
↑
5 121.58 m
↓
S 82.494824°
E114.960937°		 ← 5 106.02 m →
26 230 711 m²		 S 82.494824°
E115.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81982421875 y=0.93310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81982421875 × 210)
    floor (0.81982421875 × 1024)
    floor (839.5)     		tx = 839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93310546875 × 210)
    floor (0.93310546875 × 1024)
    floor (955.5)     		ty = 955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 839 / 955 ti = "10/839/955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/839/955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 839 ÷ 210
    839 ÷ 1024     		x = 0.8193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 955 ÷ 210
    955 ÷ 1024     		y = 0.9326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8193359375 × 2 - 1) × π
    0.638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00644687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9326171875 × 2 - 1) × π
    -0.865234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.71821395605566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00644687} λ = 2.00644687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.71821395605566))-π/2
    2×atan(0.0659925147638955)-π/2
    2×0.0658969649143413-π/2
    0.131793929828683-1.57079632675     		φ = -1.43900240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00644687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43900240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.448764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 839 KachelY 955 2.00644687 -1.43900240 114.960937 -82.448764
    Oben rechts KachelX + 1 840 KachelY 955 2.01258279 -1.43900240 115.312500 -82.448764
    Unten links KachelX 839 KachelY + 1 956 2.00644687 -1.43980629 114.960937 -82.494824
    Unten rechts KachelX + 1 840 KachelY + 1 956 2.01258279 -1.43980629 115.312500 -82.494824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43900240--1.43980629) × R
    0.000803890000000029 × 6371000     		dl = 5121.58319000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43900240--1.43980629) × R
    0.000803890000000029 × 6371000     		dr = 5121.58319000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00644687-2.01258279) × cos(-1.43900240) × R
    0.00613592000000018 × 0.131412722523038 × 6371000     		do = 5137.1790946358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00644687-2.01258279) × cos(-1.43980629) × R
    0.00613592000000018 × 0.130615761686591 × 6371000     		du = 5106.0243443983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43900240)-sin(-1.43980629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.131412722523038-0.130615761686591)×R²
    abs(2.01258279-2.00644687)×0.000796960836446287×R²
    0.00613592000000018×0.000796960836446287×6371000²
    0.00613592000000018×0.000796960836446287×40589641000000     		ar = 26230710.6851771m²