Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8380 / 8388
↖ ↑ ↗
← S  4.302591°
E  4.130860°		 ← 2 436.33 m → S  4.302591°
E  4.152832°		 →
↑
2 436.33 m
↓
↑
2 436.33 m
↓
S  4.324502°
E  4.130860°		 ← 2 436.26 m →
5 935 626 m²		 S  4.324502°
E  4.152832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511505126953125 y=0.511993408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511505126953125 × 214)
    floor (0.511505126953125 × 16384)
    floor (8380.5)     		tx = 8380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511993408203125 × 214)
    floor (0.511993408203125 × 16384)
    floor (8388.5)     		ty = 8388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8380 / 8388 ti = "14/8380/8388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8380/8388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8380 ÷ 214
    8380 ÷ 16384     		x = 0.511474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8388 ÷ 214
    8388 ÷ 16384     		y = 0.511962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511474609375 × 2 - 1) × π
    0.02294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.07209710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.511962890625 × 2 - 1) × π
    -0.02392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.075165058604248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07209710} λ = 0.07209710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.075165058604248))-π/2
    2×atan(0.927590366920785)-π/2
    2×0.747850973067186-π/2
    1.49570194613437-1.57079632675     		φ = -0.07509438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07209710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.130860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07509438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.302591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8380 KachelY 8388 0.07209710 -0.07509438 4.130860 -4.302591
    Oben rechts KachelX + 1 8381 KachelY 8388 0.07248059 -0.07509438 4.152832 -4.302591
    Unten links KachelX 8380 KachelY + 1 8389 0.07209710 -0.07547679 4.130860 -4.324502
    Unten rechts KachelX + 1 8381 KachelY + 1 8389 0.07248059 -0.07547679 4.152832 -4.324502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07509438--0.07547679) × R
    0.00038241 × 6371000     		dl = 2436.33411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07509438--0.07547679) × R
    0.00038241 × 6371000     		dr = 2436.33411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07209710-0.07248059) × cos(-0.07509438) × R
    0.00038349 × 0.997181741805174 × 6371000     		do = 2436.32917989636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07209710-0.07248059) × cos(-0.07547679) × R
    0.00038349 × 0.997152979033612 × 6371000     		du = 2436.25890626748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07509438)-sin(-0.07547679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997181741805174-0.997152979033612)×R²
    abs(0.07248059-0.07209710)×2.8762771561941e-05×R²
    0.00038349×2.8762771561941e-05×6371000²
    0.00038349×2.8762771561941e-05×40589641000000     		ar = 5935626.35148449m²