Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 838 / 954
↖ ↑ ↗
← S 82.402423°
E114.609375°		 ← 5 168.52 m → S 82.402423°
E114.960937°		 →
↑
5 152.86 m
↓
↑
5 152.86 m
↓
S 82.448764°
E114.609375°		 ← 5 137.18 m →
26 551 941 m²		 S 82.448764°
E114.960937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81884765625 y=0.93212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81884765625 × 210)
    floor (0.81884765625 × 1024)
    floor (838.5)     		tx = 838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93212890625 × 210)
    floor (0.93212890625 × 1024)
    floor (954.5)     		ty = 954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 838 / 954 ti = "10/838/954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/838/954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 838 ÷ 210
    838 ÷ 1024     		x = 0.818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 954 ÷ 210
    954 ÷ 1024     		y = 0.931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818359375 × 2 - 1) × π
    0.63671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00031095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.931640625 × 2 - 1) × π
    -0.86328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.7120780329043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00031095} λ = 2.00031095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7120780329043))-π/2
    2×atan(0.0663986846021673)-π/2
    2×0.0663013627335668-π/2
    0.132602725467134-1.57079632675     		φ = -1.43819360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00031095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43819360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.402423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 838 KachelY 954 2.00031095 -1.43819360 114.609375 -82.402423
    Oben rechts KachelX + 1 839 KachelY 954 2.00644687 -1.43819360 114.960937 -82.402423
    Unten links KachelX 838 KachelY + 1 955 2.00031095 -1.43900240 114.609375 -82.448764
    Unten rechts KachelX + 1 839 KachelY + 1 955 2.00644687 -1.43900240 114.960937 -82.448764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43819360--1.43900240) × R
    0.000808799999999943 × 6371000     		dl = 5152.86479999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43819360--1.43900240) × R
    0.000808799999999943 × 6371000     		dr = 5152.86479999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00031095-2.00644687) × cos(-1.43819360) × R
    0.00613592000000018 × 0.132214465332803 × 6371000     		do = 5168.52078151759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00031095-2.00644687) × cos(-1.43900240) × R
    0.00613592000000018 × 0.131412722523038 × 6371000     		du = 5137.1790946358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43819360)-sin(-1.43900240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132214465332803-0.131412722523038)×R²
    abs(2.00644687-2.00031095)×0.00080174280976536×R²
    0.00613592000000018×0.00080174280976536×6371000²
    0.00613592000000018×0.00080174280976536×40589641000000     		ar = 26551940.5130318m²