Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8359 / 8358
↖ ↑ ↗
← S  3.645000°
E  3.669434°		 ← 2 438.27 m → S  3.645000°
E  3.691406°		 →
↑
2 438.25 m
↓
↑
2 438.25 m
↓
S  3.666928°
E  3.669434°		 ← 2 438.21 m →
5 945 034 m²		 S  3.666928°
E  3.691406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510223388671875 y=0.510162353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510223388671875 × 214)
    floor (0.510223388671875 × 16384)
    floor (8359.5)     		tx = 8359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510162353515625 × 214)
    floor (0.510162353515625 × 16384)
    floor (8358.5)     		ty = 8358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8359 / 8358 ti = "14/8359/8358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8359/8358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8359 ÷ 214
    8359 ÷ 16384     		x = 0.51019287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8358 ÷ 214
    8358 ÷ 16384     		y = 0.5101318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51019287109375 × 2 - 1) × π
    0.0203857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.06404370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5101318359375 × 2 - 1) × π
    -0.020263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0636602026954346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06404370} λ = 0.06404370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0636602026954346))-π/2
    2×atan(0.938323785259437)-π/2
    2×0.753589539518304-π/2
    1.50717907903661-1.57079632675     		φ = -0.06361725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06404370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.669434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06361725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.645000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8359 KachelY 8358 0.06404370 -0.06361725 3.669434 -3.645000
    Oben rechts KachelX + 1 8360 KachelY 8358 0.06442719 -0.06361725 3.691406 -3.645000
    Unten links KachelX 8359 KachelY + 1 8359 0.06404370 -0.06399996 3.669434 -3.666928
    Unten rechts KachelX + 1 8360 KachelY + 1 8359 0.06442719 -0.06399996 3.691406 -3.666928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06361725--0.06399996) × R
    0.000382709999999994 × 6371000     		dl = 2438.24540999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06361725--0.06399996) × R
    0.000382709999999994 × 6371000     		dr = 2438.24540999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06404370-0.06442719) × cos(-0.06361725) × R
    0.00038349 × 0.997977105136636 × 6371000     		do = 2438.27242335122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06404370-0.06442719) × cos(-0.06399996) × R
    0.00038349 × 0.997952701513482 × 6371000     		du = 2438.2128000582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06361725)-sin(-0.06399996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997977105136636-0.997952701513482)×R²
    abs(0.06442719-0.06404370)×2.44036231541456e-05×R²
    0.00038349×2.44036231541456e-05×6371000²
    0.00038349×2.44036231541456e-05×40589641000000     		ar = 5945033.92901796m²