Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8354 / 8363
↖ ↑ ↗
← S  3.754634°
E  3.559570°		 ← 2 438.03 m → S  3.754634°
E  3.581543°		 →
↑
2 437.93 m
↓
↑
2 437.93 m
↓
S  3.776559°
E  3.559570°		 ← 2 437.97 m →
5 943 675 m²		 S  3.776559°
E  3.581543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509918212890625 y=0.510467529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509918212890625 × 214)
    floor (0.509918212890625 × 16384)
    floor (8354.5)     		tx = 8354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510467529296875 × 214)
    floor (0.510467529296875 × 16384)
    floor (8363.5)     		ty = 8363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8354 / 8363 ti = "14/8354/8363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8354/8363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8354 ÷ 214
    8354 ÷ 16384     		x = 0.5098876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8363 ÷ 214
    8363 ÷ 16384     		y = 0.51043701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5098876953125 × 2 - 1) × π
    0.019775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06212622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51043701171875 × 2 - 1) × π
    -0.0208740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0655776786802368
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06212622} λ = 0.06212622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0655776786802368))-π/2
    2×atan(0.9365262958074)-π/2
    2×0.752632799851374-π/2
    1.50526559970275-1.57079632675     		φ = -0.06553073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06212622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.559570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06553073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.754634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8354 KachelY 8363 0.06212622 -0.06553073 3.559570 -3.754634
    Oben rechts KachelX + 1 8355 KachelY 8363 0.06250972 -0.06553073 3.581543 -3.754634
    Unten links KachelX 8354 KachelY + 1 8364 0.06212622 -0.06591339 3.559570 -3.776559
    Unten rechts KachelX + 1 8355 KachelY + 1 8364 0.06250972 -0.06591339 3.581543 -3.776559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06553073--0.06591339) × R
    0.000382660000000007 × 6371000     		dl = 2437.92686000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06553073--0.06591339) × R
    0.000382660000000007 × 6371000     		dr = 2437.92686000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06212622-0.06250972) × cos(-0.06553073) × R
    0.000383500000000002 × 0.997853629969993 × 6371000     		do = 2438.03432025265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06212622-0.06250972) × cos(-0.06591339) × R
    0.000383500000000002 × 0.997828498867624 × 6371000     		du = 2437.97291797055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06553073)-sin(-0.06591339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997853629969993-0.997828498867624)×R²
    abs(0.06250972-0.06212622)×2.51311023696799e-05×R²
    0.000383500000000002×2.51311023696799e-05×6371000²
    0.000383500000000002×2.51311023696799e-05×40589641000000     		ar = 5943674.58033652m²