Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8342 / 7994
↖ ↑ ↗
← N  4.346411°
E  3.295898°		 ← 2 436.19 m → N  4.346411°
E  3.317871°		 →
↑
2 436.27 m
↓
↑
2 436.27 m
↓
N  4.324502°
E  3.295898°		 ← 2 436.26 m →
5 935 299 m²		 N  4.324502°
E  3.317871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509185791015625 y=0.487945556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509185791015625 × 214)
    floor (0.509185791015625 × 16384)
    floor (8342.5)     		tx = 8342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.487945556640625 × 214)
    floor (0.487945556640625 × 16384)
    floor (7994.5)     		ty = 7994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8342 / 7994 ti = "14/8342/7994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8342/7994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8342 ÷ 214
    8342 ÷ 16384     		x = 0.5091552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7994 ÷ 214
    7994 ÷ 16384     		y = 0.4879150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5091552734375 × 2 - 1) × π
    0.018310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05752428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4879150390625 × 2 - 1) × π
    0.024169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.075932048998169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05752428} λ = 0.05752428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.075932048998169))-π/2
    2×atan(1.07888926006034)-π/2
    2×0.823327757096551-π/2
    1.6466555141931-1.57079632675     		φ = 0.07585919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05752428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.295898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.07585919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.346411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8342 KachelY 7994 0.05752428 0.07585919 3.295898 4.346411
    Oben rechts KachelX + 1 8343 KachelY 7994 0.05790777 0.07585919 3.317871 4.346411
    Unten links KachelX 8342 KachelY + 1 7995 0.05752428 0.07547679 3.295898 4.324502
    Unten rechts KachelX + 1 8343 KachelY + 1 7995 0.05790777 0.07547679 3.317871 4.324502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.07585919-0.07547679) × R
    0.000382400000000005 × 6371000     		dl = 2436.27040000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.07585919-0.07547679) × R
    0.000382400000000005 × 6371000     		dr = 2436.27040000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05752428-0.05790777) × cos(0.07585919) × R
    0.00038349 × 0.997124071198849 × 6371000     		do = 2436.18827821804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05752428-0.05790777) × cos(0.07547679) × R
    0.00038349 × 0.997152979033612 × 6371000     		du = 2436.25890626748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.07585919)-sin(0.07547679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997124071198849-0.997152979033612)×R²
    abs(0.05790777-0.05752428)×2.89078347628369e-05×R²
    0.00038349×2.89078347628369e-05×6371000²
    0.00038349×2.89078347628369e-05×40589641000000     		ar = 5935299.49788933m²