Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8339 / 5534
↖ ↑ ↗
← N 50.317408°
E  3.229980°		 ← 1 560.12 m → N 50.317408°
E  3.251953°		 →
↑
1 560.32 m
↓
↑
1 560.32 m
↓
N 50.303376°
E  3.229980°		 ← 1 560.58 m →
2 434 643 m²		 N 50.303376°
E  3.251953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509002685546875 y=0.337799072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509002685546875 × 214)
    floor (0.509002685546875 × 16384)
    floor (8339.5)     		tx = 8339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337799072265625 × 214)
    floor (0.337799072265625 × 16384)
    floor (5534.5)     		ty = 5534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8339 / 5534 ti = "14/8339/5534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8339/5534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8339 ÷ 214
    8339 ÷ 16384     		x = 0.50897216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5534 ÷ 214
    5534 ÷ 16384     		y = 0.3377685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50897216796875 × 2 - 1) × π
    0.0179443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05637379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3377685546875 × 2 - 1) × π
    0.324462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01933023352087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05637379} λ = 0.05637379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01933023352087))-π/2
    2×atan(2.77133799294221)-π/2
    2×1.2245003847056-π/2
    2.4490007694112-1.57079632675     		φ = 0.87820444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05637379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.229980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87820444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.317408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8339 KachelY 5534 0.05637379 0.87820444 3.229980 50.317408
    Oben rechts KachelX + 1 8340 KachelY 5534 0.05675729 0.87820444 3.251953 50.317408
    Unten links KachelX 8339 KachelY + 1 5535 0.05637379 0.87795953 3.229980 50.303376
    Unten rechts KachelX + 1 8340 KachelY + 1 5535 0.05675729 0.87795953 3.251953 50.303376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87820444-0.87795953) × R
    0.000244909999999932 × 6371000     		dl = 1560.32160999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87820444-0.87795953) × R
    0.000244909999999932 × 6371000     		dr = 1560.32160999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05637379-0.05675729) × cos(0.87820444) × R
    0.000383500000000002 × 0.638534024257602 × 6371000     		do = 1560.11645298709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05637379-0.05675729) × cos(0.87795953) × R
    0.000383500000000002 × 0.63872248627289 × 6371000     		du = 1560.5769181771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87820444)-sin(0.87795953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638534024257602-0.63872248627289)×R²
    abs(0.05675729-0.05637379)×0.000188462015287438×R²
    0.000383500000000002×0.000188462015287438×6371000²
    0.000383500000000002×0.000188462015287438×40589641000000     		ar = 2434642.66477384m²