Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83389 / 85447
↖ ↑ ↗
← S 47.885039°
E 49.034729°		 ← 204.82 m → S 47.885039°
E 49.037476°		 →
↑
204.83 m
↓
↑
204.83 m
↓
S 47.886881°
E 49.034729°		 ← 204.82 m →
41 953 m²		 S 47.886881°
E 49.037476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636211395263672 y=0.651912689208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636211395263672 × 217)
    floor (0.636211395263672 × 131072)
    floor (83389.5)     		tx = 83389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651912689208984 × 217)
    floor (0.651912689208984 × 131072)
    floor (85447.5)     		ty = 85447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83389 / 85447 ti = "17/83389/85447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83389/85447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83389 ÷ 217
    83389 ÷ 131072     		x = 0.636207580566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85447 ÷ 217
    85447 ÷ 131072     		y = 0.651908874511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636207580566406 × 2 - 1) × π
    0.272415161132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.85581747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651908874511719 × 2 - 1) × π
    -0.303817749023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.954471608334938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85581747} λ = 0.85581747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.954471608334938))-π/2
    2×atan(0.385015529811581)-π/2
    2×0.367522367170087-π/2
    0.735044734340174-1.57079632675     		φ = -0.83575159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85581747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.034729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83575159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.885039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83389 KachelY 85447 0.85581747 -0.83575159 49.034729 -47.885039
    Oben rechts KachelX + 1 83390 KachelY 85447 0.85586541 -0.83575159 49.037476 -47.885039
    Unten links KachelX 83389 KachelY + 1 85448 0.85581747 -0.83578374 49.034729 -47.886881
    Unten rechts KachelX + 1 83390 KachelY + 1 85448 0.85586541 -0.83578374 49.037476 -47.886881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83575159--0.83578374) × R
    3.21500000000086e-05 × 6371000     		dl = 204.827650000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83575159--0.83578374) × R
    3.21500000000086e-05 × 6371000     		dr = 204.827650000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85581747-0.85586541) × cos(-0.83575159) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.670620342097106 × 6371000     		do = 204.824714244402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85581747-0.85586541) × cos(-0.83578374) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.670596492856325 × 6371000     		du = 204.817430072388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83575159)-sin(-0.83578374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670620342097106-0.670596492856325)×R²
    abs(0.85586541-0.85581747)×2.38492407805824e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38492407805824e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38492407805824e-05×40589641000000     		ar = 41953.0188844573m²