Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83387 / 85441
↖ ↑ ↗
← S 47.873986°
E 49.029236°		 ← 204.83 m → S 47.873986°
E 49.031982°		 →
↑
204.83 m
↓
↑
204.83 m
↓
S 47.875829°
E 49.029236°		 ← 204.82 m →
41 953 m²		 S 47.875829°
E 49.031982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636196136474609 y=0.651866912841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636196136474609 × 217)
    floor (0.636196136474609 × 131072)
    floor (83387.5)     		tx = 83387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651866912841797 × 217)
    floor (0.651866912841797 × 131072)
    floor (85441.5)     		ty = 85441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83387 / 85441 ti = "17/83387/85441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83387/85441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83387 ÷ 217
    83387 ÷ 131072     		x = 0.636192321777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85441 ÷ 217
    85441 ÷ 131072     		y = 0.651863098144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636192321777344 × 2 - 1) × π
    0.272384643554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.85572160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651863098144531 × 2 - 1) × π
    -0.303726196289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.954183986937218
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85572160} λ = 0.85572160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.954183986937218))-π/2
    2×atan(0.385126284443347)-π/2
    2×0.367618819838391-π/2
    0.735237639676782-1.57079632675     		φ = -0.83555869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85572160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.029236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83555869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.873986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83387 KachelY 85441 0.85572160 -0.83555869 49.029236 -47.873986
    Oben rechts KachelX + 1 83388 KachelY 85441 0.85576953 -0.83555869 49.031982 -47.873986
    Unten links KachelX 83387 KachelY + 1 85442 0.85572160 -0.83559084 49.029236 -47.875829
    Unten rechts KachelX + 1 83388 KachelY + 1 85442 0.85576953 -0.83559084 49.031982 -47.875829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83555869--0.83559084) × R
    3.21499999998975e-05 × 6371000     		dl = 204.827649999347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83555869--0.83559084) × R
    3.21499999998975e-05 × 6371000     		dr = 204.827649999347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85572160-0.85576953) × cos(-0.83555869) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.670763422984393 × 6371000     		do = 204.825680492388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85572160-0.85576953) × cos(-0.83559084) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.670739577902992 × 6371000     		du = 204.818399109926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83555869)-sin(-0.83559084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670763422984393-0.670739577902992)×R²
    abs(0.85576953-0.85572160)×2.38450814011859e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38450814011859e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38450814011859e-05×40589641000000     		ar = 41953.2170842527m²