Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83387 / 85431
↖ ↑ ↗
← S 47.855560°
E 49.029236°		 ← 204.90 m → S 47.855560°
E 49.031982°		 →
↑
204.89 m
↓
↑
204.89 m
↓
S 47.857403°
E 49.029236°		 ← 204.89 m →
41 981 m²		 S 47.857403°
E 49.031982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636196136474609 y=0.651790618896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636196136474609 × 217)
    floor (0.636196136474609 × 131072)
    floor (83387.5)     		tx = 83387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651790618896484 × 217)
    floor (0.651790618896484 × 131072)
    floor (85431.5)     		ty = 85431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83387 / 85431 ti = "17/83387/85431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83387/85431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83387 ÷ 217
    83387 ÷ 131072     		x = 0.636192321777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85431 ÷ 217
    85431 ÷ 131072     		y = 0.651786804199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636192321777344 × 2 - 1) × π
    0.272384643554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.85572160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651786804199219 × 2 - 1) × π
    -0.303573608398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.953704617941017
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85572160} λ = 0.85572160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.953704617941017))-π/2
    2×atan(0.385310946300779)-π/2
    2×0.367779620013806-π/2
    0.735559240027613-1.57079632675     		φ = -0.83523709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85572160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.029236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83523709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.855560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83387 KachelY 85431 0.85572160 -0.83523709 49.029236 -47.855560
    Oben rechts KachelX + 1 83388 KachelY 85431 0.85576953 -0.83523709 49.031982 -47.855560
    Unten links KachelX 83387 KachelY + 1 85432 0.85572160 -0.83526925 49.029236 -47.857403
    Unten rechts KachelX + 1 83388 KachelY + 1 85432 0.85576953 -0.83526925 49.031982 -47.857403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83523709--0.83526925) × R
    3.21599999999478e-05 × 6371000     		dl = 204.891359999667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83523709--0.83526925) × R
    3.21599999999478e-05 × 6371000     		dr = 204.891359999667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85572160-0.85576953) × cos(-0.83523709) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.671001909807515 × 6371000     		do = 204.898505312825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85572160-0.85576953) × cos(-0.83526925) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.67097806424777 × 6371000     		du = 204.891223784295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83523709)-sin(-0.83526925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671001909807515-0.67097806424777)×R²
    abs(0.85576953-0.85572160)×2.3845559745217e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3845559745217e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3845559745217e-05×40589641000000     		ar = 41981.1874580886m²