Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8337 / 8047
↖ ↑ ↗
← N  3.184395°
E  3.186035°		 ← 2 439.51 m → N  3.184395°
E  3.208008°		 →
↑
2 439.52 m
↓
↑
2 439.52 m
↓
N  3.162455°
E  3.186035°		 ← 2 439.56 m →
5 951 286 m²		 N  3.162455°
E  3.208008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508880615234375 y=0.491180419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508880615234375 × 214)
    floor (0.508880615234375 × 16384)
    floor (8337.5)     		tx = 8337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491180419921875 × 214)
    floor (0.491180419921875 × 16384)
    floor (8047.5)     		ty = 8047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8337 / 8047 ti = "14/8337/8047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8337/8047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8337 ÷ 214
    8337 ÷ 16384     		x = 0.50885009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8047 ÷ 214
    8047 ÷ 16384     		y = 0.49114990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50885009765625 × 2 - 1) × π
    0.0177001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05560680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49114990234375 × 2 - 1) × π
    0.0177001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0556068035592651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05560680} λ = 0.05560680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0556068035592651))-π/2
    2×atan(1.05718192183504)-π/2
    2×0.813187247683497-π/2
    1.62637449536699-1.57079632675     		φ = 0.05557817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05560680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.186035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05557817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.184395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8337 KachelY 8047 0.05560680 0.05557817 3.186035 3.184395
    Oben rechts KachelX + 1 8338 KachelY 8047 0.05599030 0.05557817 3.208008 3.184395
    Unten links KachelX 8337 KachelY + 1 8048 0.05560680 0.05519526 3.186035 3.162455
    Unten rechts KachelX + 1 8338 KachelY + 1 8048 0.05599030 0.05519526 3.208008 3.162455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05557817-0.05519526) × R
    0.00038291 × 6371000     		dl = 2439.51961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05557817-0.05519526) × R
    0.00038291 × 6371000     		dr = 2439.51961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05560680-0.05599030) × cos(0.05557817) × R
    0.000383500000000002 × 0.998455931031583 × 6371000     		do = 2439.50590948696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05560680-0.05599030) × cos(0.05519526) × R
    0.000383500000000002 × 0.998477128316837 × 6371000     		du = 2439.55770035828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05557817)-sin(0.05519526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998455931031583-0.998477128316837)×R²
    abs(0.05599030-0.05560680)×2.11972852540709e-05×R²
    0.000383500000000002×2.11972852540709e-05×6371000²
    0.000383500000000002×2.11972852540709e-05×40589641000000     		ar = 5951285.75004223m²