Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83369 / 85401
↖ ↑ ↗
← S 47.800242°
E 48.979797°		 ← 205.16 m → S 47.800242°
E 48.982544°		 →
↑
205.15 m
↓
↑
205.15 m
↓
S 47.802087°
E 48.979797°		 ← 205.15 m →
42 087 m²		 S 47.802087°
E 48.982544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636058807373047 y=0.651561737060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636058807373047 × 217)
    floor (0.636058807373047 × 131072)
    floor (83369.5)     		tx = 83369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651561737060547 × 217)
    floor (0.651561737060547 × 131072)
    floor (85401.5)     		ty = 85401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83369 / 85401 ti = "17/83369/85401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83369/85401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83369 ÷ 217
    83369 ÷ 131072     		x = 0.636054992675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85401 ÷ 217
    85401 ÷ 131072     		y = 0.651557922363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636054992675781 × 2 - 1) × π
    0.272109985351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.85485873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651557922363281 × 2 - 1) × π
    -0.303115844726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.952266510952415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85485873} λ = 0.85485873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.952266510952415))-π/2
    2×atan(0.385865463297254)-π/2
    2×0.368262363535681-π/2
    0.736524727071362-1.57079632675     		φ = -0.83427160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85485873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.979797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83427160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.800242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83369 KachelY 85401 0.85485873 -0.83427160 48.979797 -47.800242
    Oben rechts KachelX + 1 83370 KachelY 85401 0.85490667 -0.83427160 48.982544 -47.800242
    Unten links KachelX 83369 KachelY + 1 85402 0.85485873 -0.83430380 48.979797 -47.802087
    Unten rechts KachelX + 1 83370 KachelY + 1 85402 0.85490667 -0.83430380 48.982544 -47.802087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83427160--0.83430380) × R
    3.22000000000378e-05 × 6371000     		dl = 205.146200000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83427160--0.83430380) × R
    3.22000000000378e-05 × 6371000     		dr = 205.146200000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85485873-0.85490667) × cos(-0.83427160) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.671717464939028 × 6371000     		do = 205.159803799792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85485873-0.85490667) × cos(-0.83430380) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.671693610591577 × 6371000     		du = 205.15251806807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83427160)-sin(-0.83430380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671717464939028-0.671693610591577)×R²
    abs(0.85490667-0.85485873)×2.38543474508912e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38543474508912e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38543474508912e-05×40589641000000     		ar = 42087.0068258324m²