Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83353 / 85416
↖ ↑ ↗
← S 47.827908°
E 48.935852°		 ← 205.05 m → S 47.827908°
E 48.938599°		 →
↑
205.02 m
↓
↑
205.02 m
↓
S 47.829752°
E 48.935852°		 ← 205.04 m →
42 038 m²		 S 47.829752°
E 48.938599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.635936737060547 y=0.651676177978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.635936737060547 × 217)
    floor (0.635936737060547 × 131072)
    floor (83353.5)     		tx = 83353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651676177978516 × 217)
    floor (0.651676177978516 × 131072)
    floor (85416.5)     		ty = 85416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83353 / 85416 ti = "17/83353/85416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83353/85416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83353 ÷ 217
    83353 ÷ 131072     		x = 0.635932922363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85416 ÷ 217
    85416 ÷ 131072     		y = 0.65167236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.635932922363281 × 2 - 1) × π
    0.271865844726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.85409174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65167236328125 × 2 - 1) × π
    -0.3033447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.952985564446716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85409174} λ = 0.85409174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.952985564446716))-π/2
    2×atan(0.385588105117175)-π/2
    2×0.368020927459634-π/2
    0.736041854919267-1.57079632675     		φ = -0.83475447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85409174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.935852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83475447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.827908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83353 KachelY 85416 0.85409174 -0.83475447 48.935852 -47.827908
    Oben rechts KachelX + 1 83354 KachelY 85416 0.85413968 -0.83475447 48.938599 -47.827908
    Unten links KachelX 83353 KachelY + 1 85417 0.85409174 -0.83478665 48.935852 -47.829752
    Unten rechts KachelX + 1 83354 KachelY + 1 85417 0.85413968 -0.83478665 48.938599 -47.829752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83475447--0.83478665) × R
    3.21799999999373e-05 × 6371000     		dl = 205.0187799996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83475447--0.83478665) × R
    3.21799999999373e-05 × 6371000     		dr = 205.0187799996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85409174-0.85413968) × cos(-0.83475447) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.671359672959571 × 6371000     		do = 205.050524919701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85409174-0.85413968) × cos(-0.83478665) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.671335822994012 × 6371000     		du = 205.043240526321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83475447)-sin(-0.83478665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671359672959571-0.671335822994012)×R²
    abs(0.85413968-0.85409174)×2.38499655591529e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38499655591529e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38499655591529e-05×40589641000000     		ar = 42038.4617422825m²