Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83352 / 85384
↖ ↑ ↗
← S 47.768868°
E 48.933105°		 ← 205.28 m → S 47.768868°
E 48.935852°		 →
↑
205.27 m
↓
↑
205.27 m
↓
S 47.770714°
E 48.933105°		 ← 205.28 m →
42 139 m²		 S 47.770714°
E 48.935852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.635929107666016 y=0.651432037353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.635929107666016 × 217)
    floor (0.635929107666016 × 131072)
    floor (83352.5)     		tx = 83352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651432037353516 × 217)
    floor (0.651432037353516 × 131072)
    floor (85384.5)     		ty = 85384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83352 / 85384 ti = "17/83352/85384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83352/85384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83352 ÷ 217
    83352 ÷ 131072     		x = 0.63592529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85384 ÷ 217
    85384 ÷ 131072     		y = 0.65142822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63592529296875 × 2 - 1) × π
    0.2718505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85404380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65142822265625 × 2 - 1) × π
    -0.3028564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.951451583658875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85404380} λ = 0.85404380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.951451583658875))-π/2
    2×atan(0.386180043757622)-π/2
    2×0.36853614660363-π/2
    0.737072293207261-1.57079632675     		φ = -0.83372403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85404380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.933105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83372403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.768868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83352 KachelY 85384 0.85404380 -0.83372403 48.933105 -47.768868
    Oben rechts KachelX + 1 83353 KachelY 85384 0.85409174 -0.83372403 48.935852 -47.768868
    Unten links KachelX 83352 KachelY + 1 85385 0.85404380 -0.83375625 48.933105 -47.770714
    Unten rechts KachelX + 1 83353 KachelY + 1 85385 0.85409174 -0.83375625 48.935852 -47.770714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83372403--0.83375625) × R
    3.22200000000272e-05 × 6371000     		dl = 205.273620000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83372403--0.83375625) × R
    3.22200000000272e-05 × 6371000     		dr = 205.273620000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85404380-0.85409174) × cos(-0.83372403) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.672123008141318 × 6371000     		do = 205.283667132454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85404380-0.85409174) × cos(-0.83375625) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.672099150831567 × 6371000     		du = 205.276380495968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83372403)-sin(-0.83375625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672123008141318-0.672099150831567)×R²
    abs(0.85409174-0.85404380)×2.38573097516293e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38573097516293e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38573097516293e-05×40589641000000     		ar = 42138.5736058647m²