Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8334 / 8060
↖ ↑ ↗
← N  2.899153°
E  3.120117°		 ← 2 440.09 m → N  2.899153°
E  3.142090°		 →
↑
2 440.16 m
↓
↑
2 440.16 m
↓
N  2.877208°
E  3.120117°		 ← 2 440.13 m →
5 954 254 m²		 N  2.877208°
E  3.142090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508697509765625 y=0.491973876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508697509765625 × 214)
    floor (0.508697509765625 × 16384)
    floor (8334.5)     		tx = 8334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491973876953125 × 214)
    floor (0.491973876953125 × 16384)
    floor (8060.5)     		ty = 8060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8334 / 8060 ti = "14/8334/8060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8334/8060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8334 ÷ 214
    8334 ÷ 16384     		x = 0.5086669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8060 ÷ 214
    8060 ÷ 16384     		y = 0.491943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5086669921875 × 2 - 1) × π
    0.017333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05445632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491943359375 × 2 - 1) × π
    0.01611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0506213659987793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05445632} λ = 0.05445632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0506213659987793))-π/2
    2×atan(1.05192452347848)-π/2
    2×0.810698043450215-π/2
    1.62139608690043-1.57079632675     		φ = 0.05059976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05445632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.120117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05059976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.899153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8334 KachelY 8060 0.05445632 0.05059976 3.120117 2.899153
    Oben rechts KachelX + 1 8335 KachelY 8060 0.05483981 0.05059976 3.142090 2.899153
    Unten links KachelX 8334 KachelY + 1 8061 0.05445632 0.05021675 3.120117 2.877208
    Unten rechts KachelX + 1 8335 KachelY + 1 8061 0.05483981 0.05021675 3.142090 2.877208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05059976-0.05021675) × R
    0.000383010000000003 × 6371000     		dl = 2440.15671000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05059976-0.05021675) × R
    0.000383010000000003 × 6371000     		dr = 2440.15671000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05445632-0.05483981) × cos(0.05059976) × R
    0.00038349 × 0.998720105258951 × 6371000     		do = 2440.08773223903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05445632-0.05483981) × cos(0.05021675) × R
    0.00038349 × 0.998739403949187 × 6371000     		du = 2440.13488308444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05059976)-sin(0.05021675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998720105258951-0.998739403949187)×R²
    abs(0.05483981-0.05445632)×1.92986902358694e-05×R²
    0.00038349×1.92986902358694e-05×6371000²
    0.00038349×1.92986902358694e-05×40589641000000     		ar = 5954254.05332684m²