Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8333 / 8005
↖ ↑ ↗
← N  4.105369°
E  3.098144°		 ← 2 437.01 m → N  4.105369°
E  3.120117°		 →
↑
2 436.97 m
↓
↑
2 436.97 m
↓
N  4.083453°
E  3.098144°		 ← 2 437.08 m →
5 939 003 m²		 N  4.083453°
E  3.120117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508636474609375 y=0.488616943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508636474609375 × 214)
    floor (0.508636474609375 × 16384)
    floor (8333.5)     		tx = 8333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.488616943359375 × 214)
    floor (0.488616943359375 × 16384)
    floor (8005.5)     		ty = 8005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8333 / 8005 ti = "14/8333/8005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8333/8005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8333 ÷ 214
    8333 ÷ 16384     		x = 0.50860595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8005 ÷ 214
    8005 ÷ 16384     		y = 0.48858642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50860595703125 × 2 - 1) × π
    0.0172119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05407282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48858642578125 × 2 - 1) × π
    0.0228271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.071713601831604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05407282} λ = 0.05407282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.071713601831604))-π/2
    2×atan(1.07434760881113)-π/2
    2×0.821224269467274-π/2
    1.64244853893455-1.57079632675     		φ = 0.07165221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05407282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.098144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.07165221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.105369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8333 KachelY 8005 0.05407282 0.07165221 3.098144 4.105369
    Oben rechts KachelX + 1 8334 KachelY 8005 0.05445632 0.07165221 3.120117 4.105369
    Unten links KachelX 8333 KachelY + 1 8006 0.05407282 0.07126970 3.098144 4.083453
    Unten rechts KachelX + 1 8334 KachelY + 1 8006 0.05445632 0.07126970 3.120117 4.083453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.07165221-0.07126970) × R
    0.000382509999999989 × 6371000     		dl = 2436.97120999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.07165221-0.07126970) × R
    0.000382509999999989 × 6371000     		dr = 2436.97120999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05407282-0.05445632) × cos(0.07165221) × R
    0.000383500000000002 × 0.997434078478061 × 6371000     		do = 2437.00923911277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05407282-0.05445632) × cos(0.07126970) × R
    0.000383500000000002 × 0.997461389749002 × 6371000     		du = 2437.07596815387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.07165221)-sin(0.07126970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997434078478061-0.997461389749002)×R²
    abs(0.05445632-0.05407282)×2.73112709415768e-05×R²
    0.000383500000000002×2.73112709415768e-05×6371000²
    0.000383500000000002×2.73112709415768e-05×40589641000000     		ar = 5939002.73501073m²