Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8332 / 8044
↖ ↑ ↗
← N  3.250209°
E  3.076172°		 ← 2 439.28 m → N  3.250209°
E  3.098144°		 →
↑
2 439.33 m
↓
↑
2 439.33 m
↓
N  3.228271°
E  3.076172°		 ← 2 439.34 m →
5 950 281 m²		 N  3.228271°
E  3.098144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508575439453125 y=0.490997314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508575439453125 × 214)
    floor (0.508575439453125 × 16384)
    floor (8332.5)     		tx = 8332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490997314453125 × 214)
    floor (0.490997314453125 × 16384)
    floor (8044.5)     		ty = 8044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8332 / 8044 ti = "14/8332/8044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8332/8044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8332 ÷ 214
    8332 ÷ 16384     		x = 0.508544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8044 ÷ 214
    8044 ÷ 16384     		y = 0.490966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508544921875 × 2 - 1) × π
    0.01708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05368933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490966796875 × 2 - 1) × π
    0.01806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0567572891501465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05368933} λ = 0.05368933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0567572891501465))-π/2
    2×atan(1.05839889432348)-π/2
    2×0.813761583785317-π/2
    1.62752316757063-1.57079632675     		φ = 0.05672684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05368933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.076172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05672684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.250209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8332 KachelY 8044 0.05368933 0.05672684 3.076172 3.250209
    Oben rechts KachelX + 1 8333 KachelY 8044 0.05407282 0.05672684 3.098144 3.250209
    Unten links KachelX 8332 KachelY + 1 8045 0.05368933 0.05634396 3.076172 3.228271
    Unten rechts KachelX + 1 8333 KachelY + 1 8045 0.05407282 0.05634396 3.098144 3.228271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05672684-0.05634396) × R
    0.000382880000000002 × 6371000     		dl = 2439.32848000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05672684-0.05634396) × R
    0.000382880000000002 × 6371000     		dr = 2439.32848000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05368933-0.05407282) × cos(0.05672684) × R
    0.00038349 × 0.998391464228098 × 6371000     		do = 2439.28479161185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05368933-0.05407282) × cos(0.05634396) × R
    0.00038349 × 0.998413098972605 × 6371000     		du = 2439.3376499396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05672684)-sin(0.05634396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998391464228098-0.998413098972605)×R²
    abs(0.05407282-0.05368933)×2.16347445067822e-05×R²
    0.00038349×2.16347445067822e-05×6371000²
    0.00038349×2.16347445067822e-05×40589641000000     		ar = 5950281.40511303m²