Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83313 / 85393
↖ ↑ ↗
← S 47.785480°
E 48.825989°		 ← 205.22 m → S 47.785480°
E 48.828735°		 →
↑
205.21 m
↓
↑
205.21 m
↓
S 47.787325°
E 48.825989°		 ← 205.21 m →
42 112 m²		 S 47.787325°
E 48.828735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.635631561279297 y=0.651500701904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.635631561279297 × 217)
    floor (0.635631561279297 × 131072)
    floor (83313.5)     		tx = 83313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651500701904297 × 217)
    floor (0.651500701904297 × 131072)
    floor (85393.5)     		ty = 85393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83313 / 85393 ti = "17/83313/85393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83313/85393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83313 ÷ 217
    83313 ÷ 131072     		x = 0.635627746582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85393 ÷ 217
    85393 ÷ 131072     		y = 0.651496887207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.635627746582031 × 2 - 1) × π
    0.271255493164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.85217426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651496887207031 × 2 - 1) × π
    -0.302993774414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.951883015755455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85217426} λ = 0.85217426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.951883015755455))-π/2
    2×atan(0.386013469227069)-π/2
    2×0.368391182042605-π/2
    0.73678236408521-1.57079632675     		φ = -0.83401396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85217426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.825989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83401396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.785480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83313 KachelY 85393 0.85217426 -0.83401396 48.825989 -47.785480
    Oben rechts KachelX + 1 83314 KachelY 85393 0.85222220 -0.83401396 48.828735 -47.785480
    Unten links KachelX 83313 KachelY + 1 85394 0.85217426 -0.83404617 48.825989 -47.787325
    Unten rechts KachelX + 1 83314 KachelY + 1 85394 0.85222220 -0.83404617 48.828735 -47.787325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83401396--0.83404617) × R
    3.2209999999977e-05 × 6371000     		dl = 205.209909999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83401396--0.83404617) × R
    3.2209999999977e-05 × 6371000     		dr = 205.209909999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85217426-0.85222220) × cos(-0.83401396) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.671908304269244 × 6371000     		do = 205.21809104392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85217426-0.85222220) × cos(-0.83404617) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.6718844480885 × 6371000     		du = 205.210804752262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83401396)-sin(-0.83404617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671908304269244-0.6718844480885)×R²
    abs(0.85222220-0.85217426)×2.38561807445192e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38561807445192e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38561807445192e-05×40589641000000     		ar = 42112.0383875066m²