Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8331 / 8003
↖ ↑ ↗
← N  4.149200°
E  3.054199°		 ← 2 436.87 m → N  4.149200°
E  3.076172°		 →
↑
2 436.84 m
↓
↑
2 436.84 m
↓
N  4.127285°
E  3.054199°		 ← 2 436.94 m →
5 938 365 m²		 N  4.127285°
E  3.076172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508514404296875 y=0.488494873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508514404296875 × 214)
    floor (0.508514404296875 × 16384)
    floor (8331.5)     		tx = 8331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.488494873046875 × 214)
    floor (0.488494873046875 × 16384)
    floor (8003.5)     		ty = 8003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8331 / 8003 ti = "14/8331/8003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8331/8003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8331 ÷ 214
    8331 ÷ 16384     		x = 0.50848388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8003 ÷ 214
    8003 ÷ 16384     		y = 0.48846435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50848388671875 × 2 - 1) × π
    0.0169677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05330583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48846435546875 × 2 - 1) × π
    0.0230712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0724805922255249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05330583} λ = 0.05330583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0724805922255249))-π/2
    2×atan(1.07517193919315)-π/2
    2×0.821606770106722-π/2
    1.64321354021344-1.57079632675     		φ = 0.07241721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05330583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.054199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.07241721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.149200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8331 KachelY 8003 0.05330583 0.07241721 3.054199 4.149200
    Oben rechts KachelX + 1 8332 KachelY 8003 0.05368933 0.07241721 3.076172 4.149200
    Unten links KachelX 8331 KachelY + 1 8004 0.05330583 0.07203472 3.054199 4.127285
    Unten rechts KachelX + 1 8332 KachelY + 1 8004 0.05368933 0.07203472 3.076172 4.127285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.07241721-0.07203472) × R
    0.000382489999999999 × 6371000     		dl = 2436.84378999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.07241721-0.07203472) × R
    0.000382489999999999 × 6371000     		dr = 2436.84378999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05330583-0.05368933) × cos(0.07241721) × R
    0.000383500000000002 × 0.997379019571869 × 6371000     		do = 2436.87471487104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05330583-0.05368933) × cos(0.07203472) × R
    0.000383500000000002 × 0.997406621268651 × 6371000     		du = 2436.94215350335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.07241721)-sin(0.07203472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997379019571869-0.997406621268651)×R²
    abs(0.05368933-0.05330583)×2.76016967819537e-05×R²
    0.000383500000000002×2.76016967819537e-05×6371000²
    0.000383500000000002×2.76016967819537e-05×40589641000000     		ar = 5938365.25704555m²