Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8329 / 8053
↖ ↑ ↗
← N  3.052754°
E  3.010254°		 ← 2 439.81 m → N  3.052754°
E  3.032227°		 →
↑
2 439.84 m
↓
↑
2 439.84 m
↓
N  3.030812°
E  3.010254°		 ← 2 439.86 m →
5 952 805 m²		 N  3.030812°
E  3.032227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508392333984375 y=0.491546630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508392333984375 × 214)
    floor (0.508392333984375 × 16384)
    floor (8329.5)     		tx = 8329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491546630859375 × 214)
    floor (0.491546630859375 × 16384)
    floor (8053.5)     		ty = 8053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8329 / 8053 ti = "14/8329/8053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8329/8053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8329 ÷ 214
    8329 ÷ 16384     		x = 0.50836181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8053 ÷ 214
    8053 ÷ 16384     		y = 0.49151611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50836181640625 × 2 - 1) × π
    0.0167236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05253884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49151611328125 × 2 - 1) × π
    0.0169677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0533058323775024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05253884} λ = 0.05253884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0533058323775024))-π/2
    2×atan(1.05475217316188)-π/2
    2×0.812038466116345-π/2
    1.62407693223269-1.57079632675     		φ = 0.05328061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05253884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.010254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05328061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.052754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8329 KachelY 8053 0.05253884 0.05328061 3.010254 3.052754
    Oben rechts KachelX + 1 8330 KachelY 8053 0.05292234 0.05328061 3.032227 3.052754
    Unten links KachelX 8329 KachelY + 1 8054 0.05253884 0.05289765 3.010254 3.030812
    Unten rechts KachelX + 1 8330 KachelY + 1 8054 0.05292234 0.05289765 3.032227 3.030812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05328061-0.05289765) × R
    0.000382960000000002 × 6371000     		dl = 2439.83816000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05328061-0.05289765) × R
    0.000382960000000002 × 6371000     		dr = 2439.83816000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05253884-0.05292234) × cos(0.05328061) × R
    0.000383499999999995 × 0.998580924055504 × 6371000     		do = 2439.81130225491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05253884-0.05292234) × cos(0.05289765) × R
    0.000383499999999995 × 0.998601245519606 × 6371000     		du = 2439.86095325124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05328061)-sin(0.05289765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998580924055504-0.998601245519606)×R²
    abs(0.05292234-0.05253884)×2.03214641029126e-05×R²
    0.000383499999999995×2.03214641029126e-05×6371000²
    0.000383499999999995×2.03214641029126e-05×40589641000000     		ar = 5952805.36139104m²