Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8327 / 8048
↖ ↑ ↗
← N  3.162455°
E  2.966309°		 ← 2 439.56 m → N  3.162455°
E  2.988281°		 →
↑
2 439.52 m
↓
↑
2 439.52 m
↓
N  3.140516°
E  2.966309°		 ← 2 439.61 m →
5 951 412 m²		 N  3.140516°
E  2.988281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508270263671875 y=0.491241455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508270263671875 × 214)
    floor (0.508270263671875 × 16384)
    floor (8327.5)     		tx = 8327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491241455078125 × 214)
    floor (0.491241455078125 × 16384)
    floor (8048.5)     		ty = 8048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8327 / 8048 ti = "14/8327/8048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8327/8048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8327 ÷ 214
    8327 ÷ 16384     		x = 0.50823974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8048 ÷ 214
    8048 ÷ 16384     		y = 0.4912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50823974609375 × 2 - 1) × π
    0.0164794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05177185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4912109375 × 2 - 1) × π
    0.017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0552233083623047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05177185} λ = 0.05177185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0552233083623047))-π/2
    2×atan(1.05677657537488)-π/2
    2×0.812995794121937-π/2
    1.62599158824387-1.57079632675     		φ = 0.05519526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05177185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.966309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05519526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.162455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8327 KachelY 8048 0.05177185 0.05519526 2.966309 3.162455
    Oben rechts KachelX + 1 8328 KachelY 8048 0.05215535 0.05519526 2.988281 3.162455
    Unten links KachelX 8327 KachelY + 1 8049 0.05177185 0.05481235 2.966309 3.140516
    Unten rechts KachelX + 1 8328 KachelY + 1 8049 0.05215535 0.05481235 2.988281 3.140516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05519526-0.05481235) × R
    0.00038291 × 6371000     		dl = 2439.51961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05519526-0.05481235) × R
    0.00038291 × 6371000     		dr = 2439.51961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05177185-0.05215535) × cos(0.05519526) × R
    0.000383500000000002 × 0.998477128316837 × 6371000     		do = 2439.55770035828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05177185-0.05215535) × cos(0.05481235) × R
    0.000383500000000002 × 0.998498179205308 × 6371000     		du = 2439.60913354149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05519526)-sin(0.05481235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998477128316837-0.998498179205308)×R²
    abs(0.05215535-0.05177185)×2.10508884712635e-05×R²
    0.000383500000000002×2.10508884712635e-05×6371000²
    0.000383500000000002×2.10508884712635e-05×40589641000000     		ar = 5951411.65859642m²