Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8325 / 8058
↖ ↑ ↗
← N  2.943041°
E  2.922363°		 ← 2 440.06 m → N  2.943041°
E  2.944336°		 →
↑
2 440.03 m
↓
↑
2 440.03 m
↓
N  2.921097°
E  2.922363°		 ← 2 440.10 m →
5 953 867 m²		 N  2.921097°
E  2.944336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508148193359375 y=0.491851806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508148193359375 × 214)
    floor (0.508148193359375 × 16384)
    floor (8325.5)     		tx = 8325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491851806640625 × 214)
    floor (0.491851806640625 × 16384)
    floor (8058.5)     		ty = 8058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8325 / 8058 ti = "14/8325/8058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8325/8058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8325 ÷ 214
    8325 ÷ 16384     		x = 0.50811767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8058 ÷ 214
    8058 ÷ 16384     		y = 0.4918212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50811767578125 × 2 - 1) × π
    0.0162353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05100486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4918212890625 × 2 - 1) × π
    0.016357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0513883563927002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05100486} λ = 0.05100486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0513883563927002))-π/2
    2×atan(1.0527316489723)-π/2
    2×0.811081040347391-π/2
    1.62216208069478-1.57079632675     		φ = 0.05136575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05100486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.922363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05136575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.943041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8325 KachelY 8058 0.05100486 0.05136575 2.922363 2.943041
    Oben rechts KachelX + 1 8326 KachelY 8058 0.05138836 0.05136575 2.944336 2.943041
    Unten links KachelX 8325 KachelY + 1 8059 0.05100486 0.05098276 2.922363 2.921097
    Unten rechts KachelX + 1 8326 KachelY + 1 8059 0.05138836 0.05098276 2.944336 2.921097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05136575-0.05098276) × R
    0.00038299 × 6371000     		dl = 2440.02929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05136575-0.05098276) × R
    0.00038299 × 6371000     		dr = 2440.02929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05100486-0.05138836) × cos(0.05136575) × R
    0.000383500000000002 × 0.998681069894921 × 6371000     		do = 2440.05598643127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05100486-0.05138836) × cos(0.05098276) × R
    0.000383500000000002 × 0.99870066056942 × 6371000     		du = 2440.10385190507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05136575)-sin(0.05098276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998681069894921-0.99870066056942)×R²
    abs(0.05138836-0.05100486)×1.95906744988594e-05×R²
    0.000383500000000002×1.95906744988594e-05×6371000²
    0.000383500000000002×1.95906744988594e-05×40589641000000     		ar = 5953866.54548796m²