Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8324 / 8046
↖ ↑ ↗
← N  3.206333°
E  2.900391°		 ← 2 439.39 m → N  3.206333°
E  2.922363°		 →
↑
2 439.46 m
↓
↑
2 439.46 m
↓
N  3.184395°
E  2.900391°		 ← 2 439.44 m →
5 950 848 m²		 N  3.184395°
E  2.922363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508087158203125 y=0.491119384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508087158203125 × 214)
    floor (0.508087158203125 × 16384)
    floor (8324.5)     		tx = 8324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491119384765625 × 214)
    floor (0.491119384765625 × 16384)
    floor (8046.5)     		ty = 8046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8324 / 8046 ti = "14/8324/8046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8324/8046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8324 ÷ 214
    8324 ÷ 16384     		x = 0.508056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8046 ÷ 214
    8046 ÷ 16384     		y = 0.4910888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508056640625 × 2 - 1) × π
    0.01611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05062137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4910888671875 × 2 - 1) × π
    0.017822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0559902987562256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05062137} λ = 0.05062137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0559902987562256))-π/2
    2×atan(1.05758742377343)-π/2
    2×0.813378697166567-π/2
    1.62675739433313-1.57079632675     		φ = 0.05596107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05062137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05596107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.206333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8324 KachelY 8046 0.05062137 0.05596107 2.900391 3.206333
    Oben rechts KachelX + 1 8325 KachelY 8046 0.05100486 0.05596107 2.922363 3.206333
    Unten links KachelX 8324 KachelY + 1 8047 0.05062137 0.05557817 2.900391 3.184395
    Unten rechts KachelX + 1 8325 KachelY + 1 8047 0.05100486 0.05557817 2.922363 3.184395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05596107-0.05557817) × R
    0.000382899999999999 × 6371000     		dl = 2439.45589999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05596107-0.05557817) × R
    0.000382899999999999 × 6371000     		dr = 2439.45589999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05062137-0.05100486) × cos(0.05596107) × R
    0.00038349 × 0.998434587911973 × 6371000     		do = 2439.39015203409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05062137-0.05100486) × cos(0.05557817) × R
    0.00038349 × 0.998455931031583 × 6371000     		du = 2439.44229785958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05596107)-sin(0.05557817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998434587911973-0.998455931031583)×R²
    abs(0.05100486-0.05062137)×2.13431196102176e-05×R²
    0.00038349×2.13431196102176e-05×6371000²
    0.00038349×2.13431196102176e-05×40589641000000     		ar = 5950848.37520795m²