Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8324 / 8027
↖ ↑ ↗
← N  3.623071°
E  2.900391°		 ← 2 438.33 m → N  3.623071°
E  2.922363°		 →
↑
2 438.37 m
↓
↑
2 438.37 m
↓
N  3.601142°
E  2.900391°		 ← 2 438.39 m →
5 945 634 m²		 N  3.601142°
E  2.922363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508087158203125 y=0.489959716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508087158203125 × 214)
    floor (0.508087158203125 × 16384)
    floor (8324.5)     		tx = 8324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.489959716796875 × 214)
    floor (0.489959716796875 × 16384)
    floor (8027.5)     		ty = 8027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8324 / 8027 ti = "14/8324/8027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8324/8027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8324 ÷ 214
    8324 ÷ 16384     		x = 0.508056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8027 ÷ 214
    8027 ÷ 16384     		y = 0.48992919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508056640625 × 2 - 1) × π
    0.01611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05062137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48992919921875 × 2 - 1) × π
    0.0201416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0632767074984741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05062137} λ = 0.05062137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0632767074984741))-π/2
    2×atan(1.06532158092053)-π/2
    2×0.817015425235251-π/2
    1.6340308504705-1.57079632675     		φ = 0.06323452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05062137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.06323452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.623071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8324 KachelY 8027 0.05062137 0.06323452 2.900391 3.623071
    Oben rechts KachelX + 1 8325 KachelY 8027 0.05100486 0.06323452 2.922363 3.623071
    Unten links KachelX 8324 KachelY + 1 8028 0.05062137 0.06285179 2.900391 3.601142
    Unten rechts KachelX + 1 8325 KachelY + 1 8028 0.05100486 0.06285179 2.922363 3.601142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.06323452-0.06285179) × R
    0.000382729999999998 × 6371000     		dl = 2438.37282999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.06323452-0.06285179) × R
    0.000382729999999998 × 6371000     		dr = 2438.37282999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05062137-0.05100486) × cos(0.06323452) × R
    0.00038349 × 0.998001363852983 × 6371000     		do = 2438.33169260578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05062137-0.05100486) × cos(0.06285179) × R
    0.00038349 × 0.998025476379844 × 6371000     		du = 2438.39060468803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.06323452)-sin(0.06285179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998001363852983-0.998025476379844)×R²
    abs(0.05100486-0.05062137)×2.41125268606313e-05×R²
    0.00038349×2.41125268606313e-05×6371000²
    0.00038349×2.41125268606313e-05×40589641000000     		ar = 5945633.6471656m²