Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8323 / 5549
↖ ↑ ↗
← N 50.106488°
E  2.878418°		 ← 1 567.03 m → N 50.106488°
E  2.900391°		 →
↑
1 567.27 m
↓
↑
1 567.27 m
↓
N 50.092393°
E  2.878418°		 ← 1 567.49 m →
2 456 311 m²		 N 50.092393°
E  2.900391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508026123046875 y=0.338714599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508026123046875 × 214)
    floor (0.508026123046875 × 16384)
    floor (8323.5)     		tx = 8323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338714599609375 × 214)
    floor (0.338714599609375 × 16384)
    floor (5549.5)     		ty = 5549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8323 / 5549 ti = "14/8323/5549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8323/5549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8323 ÷ 214
    8323 ÷ 16384     		x = 0.50799560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5549 ÷ 214
    5549 ÷ 16384     		y = 0.33868408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50799560546875 × 2 - 1) × π
    0.0159912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05023787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33868408203125 × 2 - 1) × π
    0.3226318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01357780556647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05023787} λ = 0.05023787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01357780556647))-π/2
    2×atan(2.75544183538525)-π/2
    2×1.22265975711717-π/2
    2.44531951423435-1.57079632675     		φ = 0.87452319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05023787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.878418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87452319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.106488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8323 KachelY 5549 0.05023787 0.87452319 2.878418 50.106488
    Oben rechts KachelX + 1 8324 KachelY 5549 0.05062137 0.87452319 2.900391 50.106488
    Unten links KachelX 8323 KachelY + 1 5550 0.05023787 0.87427719 2.878418 50.092393
    Unten rechts KachelX + 1 8324 KachelY + 1 5550 0.05062137 0.87427719 2.900391 50.092393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87452319-0.87427719) × R
    0.000245999999999968 × 6371000     		dl = 1567.2659999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87452319-0.87427719) × R
    0.000245999999999968 × 6371000     		dr = 1567.2659999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05023787-0.05062137) × cos(0.87452319) × R
    0.000383500000000002 × 0.641362757702155 × 6371000     		do = 1567.02783659439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05023787-0.05062137) × cos(0.87427719) × R
    0.000383500000000002 × 0.641551478788094 × 6371000     		du = 1567.48893476616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87452319)-sin(0.87427719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641362757702155-0.641551478788094)×R²
    abs(0.05062137-0.05023787)×0.00018872108593837×R²
    0.000383500000000002×0.00018872108593837×6371000²
    0.000383500000000002×0.00018872108593837×40589641000000     		ar = 2456310.79347781m²