Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8322 / 8038
↖ ↑ ↗
← N  3.381824°
E  2.856446°		 ← 2 438.96 m → N  3.381824°
E  2.878418°		 →
↑
2 439.01 m
↓
↑
2 439.01 m
↓
N  3.359889°
E  2.856446°		 ← 2 439.02 m →
5 948 715 m²		 N  3.359889°
E  2.878418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507965087890625 y=0.490631103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507965087890625 × 214)
    floor (0.507965087890625 × 16384)
    floor (8322.5)     		tx = 8322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490631103515625 × 214)
    floor (0.490631103515625 × 16384)
    floor (8038.5)     		ty = 8038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8322 / 8038 ti = "14/8322/8038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8322/8038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8322 ÷ 214
    8322 ÷ 16384     		x = 0.5079345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8038 ÷ 214
    8038 ÷ 16384     		y = 0.4906005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5079345703125 × 2 - 1) × π
    0.015869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04985438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4906005859375 × 2 - 1) × π
    0.018798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0590582603319092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04985438} λ = 0.04985438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0590582603319092))-π/2
    2×atan(1.06083704365808)-π/2
    2×0.814910142848392-π/2
    1.62982028569678-1.57079632675     		φ = 0.05902396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04985438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.856446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05902396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.381824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8322 KachelY 8038 0.04985438 0.05902396 2.856446 3.381824
    Oben rechts KachelX + 1 8323 KachelY 8038 0.05023787 0.05902396 2.878418 3.381824
    Unten links KachelX 8322 KachelY + 1 8039 0.04985438 0.05864113 2.856446 3.359889
    Unten rechts KachelX + 1 8323 KachelY + 1 8039 0.05023787 0.05864113 2.878418 3.359889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05902396-0.05864113) × R
    0.000382830000000001 × 6371000     		dl = 2439.00993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05902396-0.05864113) × R
    0.000382830000000001 × 6371000     		dr = 2439.00993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04985438-0.05023787) × cos(0.05902396) × R
    0.00038349 × 0.998258591724924 × 6371000     		do = 2438.96015554691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04985438-0.05023787) × cos(0.05864113) × R
    0.00038349 × 0.998281101597292 × 6371000     		du = 2439.015152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05902396)-sin(0.05864113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998258591724924-0.998281101597292)×R²
    abs(0.05023787-0.04985438)×2.25098723677375e-05×R²
    0.00038349×2.25098723677375e-05×6371000²
    0.00038349×2.25098723677375e-05×40589641000000     		ar = 5948715.17935391m²