Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8318 / 7996
↖ ↑ ↗
← N  4.302591°
E  2.768554°		 ← 2 436.39 m → N  4.302591°
E  2.790527°		 →
↑
2 436.40 m
↓
↑
2 436.40 m
↓
N  4.280680°
E  2.768554°		 ← 2 436.46 m →
5 936 107 m²		 N  4.280680°
E  2.790527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507720947265625 y=0.488067626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507720947265625 × 214)
    floor (0.507720947265625 × 16384)
    floor (8318.5)     		tx = 8318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.488067626953125 × 214)
    floor (0.488067626953125 × 16384)
    floor (7996.5)     		ty = 7996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8318 / 7996 ti = "14/8318/7996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8318/7996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8318 ÷ 214
    8318 ÷ 16384     		x = 0.5076904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7996 ÷ 214
    7996 ÷ 16384     		y = 0.488037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5076904296875 × 2 - 1) × π
    0.015380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04832039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.488037109375 × 2 - 1) × π
    0.02392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.075165058604248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04832039} λ = 0.04832039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.075165058604248))-π/2
    2×atan(1.07806207962205)-π/2
    2×0.822945353727711-π/2
    1.64589070745542-1.57079632675     		φ = 0.07509438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04832039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.768554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.07509438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.302591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8318 KachelY 7996 0.04832039 0.07509438 2.768554 4.302591
    Oben rechts KachelX + 1 8319 KachelY 7996 0.04870389 0.07509438 2.790527 4.302591
    Unten links KachelX 8318 KachelY + 1 7997 0.04832039 0.07471196 2.768554 4.280680
    Unten rechts KachelX + 1 8319 KachelY + 1 7997 0.04870389 0.07471196 2.790527 4.280680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.07509438-0.07471196) × R
    0.000382420000000008 × 6371000     		dl = 2436.39782000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.07509438-0.07471196) × R
    0.000382420000000008 × 6371000     		dr = 2436.39782000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04832039-0.04870389) × cos(0.07509438) × R
    0.000383500000000002 × 0.997181741805174 × 6371000     		do = 2436.39271034514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04832039-0.04870389) × cos(0.07471196) × R
    0.000383500000000002 × 0.997210359497889 × 6371000     		du = 2436.46263133848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.07509438)-sin(0.07471196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997181741805174-0.997210359497889)×R²
    abs(0.04870389-0.04832039)×2.86176927153381e-05×R²
    0.000383500000000002×2.86176927153381e-05×6371000²
    0.000383500000000002×2.86176927153381e-05×40589641000000     		ar = 5936107.13817065m²