Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8317 / 7995
↖ ↑ ↗
← N  4.324502°
E  2.746582°		 ← 2 436.26 m → N  4.324502°
E  2.768554°		 →
↑
2 436.33 m
↓
↑
2 436.33 m
↓
N  4.302591°
E  2.746582°		 ← 2 436.33 m →
5 935 626 m²		 N  4.302591°
E  2.768554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507659912109375 y=0.488006591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507659912109375 × 214)
    floor (0.507659912109375 × 16384)
    floor (8317.5)     		tx = 8317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.488006591796875 × 214)
    floor (0.488006591796875 × 16384)
    floor (7995.5)     		ty = 7995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8317 / 7995 ti = "14/8317/7995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8317/7995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8317 ÷ 214
    8317 ÷ 16384     		x = 0.50762939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7995 ÷ 214
    7995 ÷ 16384     		y = 0.48797607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50762939453125 × 2 - 1) × π
    0.0152587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04793690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48797607421875 × 2 - 1) × π
    0.0240478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0755485538012085
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04793690} λ = 0.04793690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0755485538012085))-π/2
    2×atan(1.07847559053627)-π/2
    2×0.82313655817667-π/2
    1.64627311635334-1.57079632675     		φ = 0.07547679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04793690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.746582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.07547679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.324502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8317 KachelY 7995 0.04793690 0.07547679 2.746582 4.324502
    Oben rechts KachelX + 1 8318 KachelY 7995 0.04832039 0.07547679 2.768554 4.324502
    Unten links KachelX 8317 KachelY + 1 7996 0.04793690 0.07509438 2.746582 4.302591
    Unten rechts KachelX + 1 8318 KachelY + 1 7996 0.04832039 0.07509438 2.768554 4.302591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.07547679-0.07509438) × R
    0.00038241 × 6371000     		dl = 2436.33411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.07547679-0.07509438) × R
    0.00038241 × 6371000     		dr = 2436.33411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04793690-0.04832039) × cos(0.07547679) × R
    0.00038349 × 0.997152979033612 × 6371000     		do = 2436.25890626748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04793690-0.04832039) × cos(0.07509438) × R
    0.00038349 × 0.997181741805174 × 6371000     		du = 2436.32917989636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.07547679)-sin(0.07509438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997152979033612-0.997181741805174)×R²
    abs(0.04832039-0.04793690)×2.8762771561941e-05×R²
    0.00038349×2.8762771561941e-05×6371000²
    0.00038349×2.8762771561941e-05×40589641000000     		ar = 5935626.35148449m²