Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83167 / 85332
↖ ↑ ↗
← S 47.672785°
E 48.424988°		 ← 205.62 m → S 47.672785°
E 48.427734°		 →
↑
205.66 m
↓
↑
205.66 m
↓
S 47.674635°
E 48.424988°		 ← 205.61 m →
42 286 m²		 S 47.674635°
E 48.427734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634517669677734 y=0.651035308837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634517669677734 × 217)
    floor (0.634517669677734 × 131072)
    floor (83167.5)     		tx = 83167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651035308837891 × 217)
    floor (0.651035308837891 × 131072)
    floor (85332.5)     		ty = 85332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83167 / 85332 ti = "17/83167/85332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83167/85332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83167 ÷ 217
    83167 ÷ 131072     		x = 0.634513854980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85332 ÷ 217
    85332 ÷ 131072     		y = 0.651031494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634513854980469 × 2 - 1) × π
    0.269027709960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.84517548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651031494140625 × 2 - 1) × π
    -0.30206298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.948958864878632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84517548} λ = 0.84517548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.948958864878632))-π/2
    2×atan(0.387143882796008)-π/2
    2×0.369374626586732-π/2
    0.738749253173464-1.57079632675     		φ = -0.83204707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84517548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.424988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83204707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.672785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83167 KachelY 85332 0.84517548 -0.83204707 48.424988 -47.672785
    Oben rechts KachelX + 1 83168 KachelY 85332 0.84522341 -0.83204707 48.427734 -47.672785
    Unten links KachelX 83167 KachelY + 1 85333 0.84517548 -0.83207935 48.424988 -47.674635
    Unten rechts KachelX + 1 83168 KachelY + 1 85333 0.84522341 -0.83207935 48.427734 -47.674635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83204707--0.83207935) × R
    3.22799999999956e-05 × 6371000     		dl = 205.655879999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83204707--0.83207935) × R
    3.22799999999956e-05 × 6371000     		dr = 205.655879999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84517548-0.84522341) × cos(-0.83204707) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.673363749922981 × 6371000     		do = 205.61972160502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84517548-0.84522341) × cos(-0.83207935) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.673339884602046 × 6371000     		du = 205.612434042172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83204707)-sin(-0.83207935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673363749922981-0.673339884602046)×R²
    abs(0.84522341-0.84517548)×2.38653209350126e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38653209350126e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38653209350126e-05×40589641000000     		ar = 42286.1554305741m²