Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83156 / 85315
↖ ↑ ↗
← S 47.641336°
E 48.394775°		 ← 205.79 m → S 47.641336°
E 48.397522°		 →
↑
205.72 m
↓
↑
205.72 m
↓
S 47.643186°
E 48.394775°		 ← 205.78 m →
42 334 m²		 S 47.643186°
E 48.397522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634433746337891 y=0.650905609130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634433746337891 × 217)
    floor (0.634433746337891 × 131072)
    floor (83156.5)     		tx = 83156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650905609130859 × 217)
    floor (0.650905609130859 × 131072)
    floor (85315.5)     		ty = 85315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83156 / 85315 ti = "17/83156/85315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83156/85315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83156 ÷ 217
    83156 ÷ 131072     		x = 0.634429931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85315 ÷ 217
    85315 ÷ 131072     		y = 0.650901794433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634429931640625 × 2 - 1) × π
    0.26885986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84464817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650901794433594 × 2 - 1) × π
    -0.301803588867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.948143937585091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84464817} λ = 0.84464817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.948143937585091))-π/2
    2×atan(0.387459505499937)-π/2
    2×0.369649080489889-π/2
    0.739298160979778-1.57079632675     		φ = -0.83149817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84464817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.394775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83149817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.641336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83156 KachelY 85315 0.84464817 -0.83149817 48.394775 -47.641336
    Oben rechts KachelX + 1 83157 KachelY 85315 0.84469611 -0.83149817 48.397522 -47.641336
    Unten links KachelX 83156 KachelY + 1 85316 0.84464817 -0.83153046 48.394775 -47.643186
    Unten rechts KachelX + 1 83157 KachelY + 1 85316 0.84469611 -0.83153046 48.397522 -47.643186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83149817--0.83153046) × R
    3.22899999999349e-05 × 6371000     		dl = 205.719589999585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83149817--0.83153046) × R
    3.22899999999349e-05 × 6371000     		dr = 205.719589999585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84464817-0.84469611) × cos(-0.83149817) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.673769456458896 × 6371000     		do = 205.786534828221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84464817-0.84469611) × cos(-0.83153046) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.673745595682701 × 6371000     		du = 205.779247132995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83149817)-sin(-0.83153046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673769456458896-0.673745595682701)×R²
    abs(0.84469611-0.84464817)×2.38607761952059e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38607761952059e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38607761952059e-05×40589641000000     		ar = 42333.5719653095m²