Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83154 / 85350
↖ ↑ ↗
← S 47.706065°
E 48.389282°		 ← 205.49 m → S 47.706065°
E 48.392029°		 →
↑
205.53 m
↓
↑
205.53 m
↓
S 47.707914°
E 48.389282°		 ← 205.48 m →
42 233 m²		 S 47.707914°
E 48.392029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634418487548828 y=0.651172637939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634418487548828 × 217)
    floor (0.634418487548828 × 131072)
    floor (83154.5)     		tx = 83154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651172637939453 × 217)
    floor (0.651172637939453 × 131072)
    floor (85350.5)     		ty = 85350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83154 / 85350 ti = "17/83154/85350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83154/85350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83154 ÷ 217
    83154 ÷ 131072     		x = 0.634414672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85350 ÷ 217
    85350 ÷ 131072     		y = 0.651168823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634414672851562 × 2 - 1) × π
    0.268829345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84455230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651168823242188 × 2 - 1) × π
    -0.302337646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.949821729071793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84455230} λ = 0.84455230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.949821729071793))-π/2
    2×atan(0.38680997428151)-π/2
    2×0.3690842085122-π/2
    0.738168417024399-1.57079632675     		φ = -0.83262791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84455230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.389282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83262791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.706065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83154 KachelY 85350 0.84455230 -0.83262791 48.389282 -47.706065
    Oben rechts KachelX + 1 83155 KachelY 85350 0.84460023 -0.83262791 48.392029 -47.706065
    Unten links KachelX 83154 KachelY + 1 85351 0.84455230 -0.83266017 48.389282 -47.707914
    Unten rechts KachelX + 1 83155 KachelY + 1 85351 0.84460023 -0.83266017 48.392029 -47.707914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83262791--0.83266017) × R
    3.22600000000062e-05 × 6371000     		dl = 205.528460000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83262791--0.83266017) × R
    3.22600000000062e-05 × 6371000     		dr = 205.528460000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84455230-0.84460023) × cos(-0.83262791) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.672934214759207 × 6371000     		do = 205.488557874977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84455230-0.84460023) × cos(-0.83266017) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.67291035161176 × 6371000     		du = 205.481270975831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83262791)-sin(-0.83266017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672934214759207-0.67291035161176)×R²
    abs(0.84460023-0.84455230)×2.38631474476225e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.38631474476225e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.38631474476225e-05×40589641000000     		ar = 42232.998018714m²