Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83153 / 85352
↖ ↑ ↗
← S 47.709761°
E 48.386536°		 ← 205.52 m → S 47.709761°
E 48.389282°		 →
↑
205.53 m
↓
↑
205.53 m
↓
S 47.711610°
E 48.386536°		 ← 205.51 m →
42 239 m²		 S 47.711610°
E 48.389282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634410858154297 y=0.651187896728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634410858154297 × 217)
    floor (0.634410858154297 × 131072)
    floor (83153.5)     		tx = 83153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651187896728516 × 217)
    floor (0.651187896728516 × 131072)
    floor (85352.5)     		ty = 85352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83153 / 85352 ti = "17/83153/85352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83153/85352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83153 ÷ 217
    83153 ÷ 131072     		x = 0.634407043457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85352 ÷ 217
    85352 ÷ 131072     		y = 0.65118408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634407043457031 × 2 - 1) × π
    0.268814086914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.84450436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65118408203125 × 2 - 1) × π
    -0.3023681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.949917602871033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84450436} λ = 0.84450436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.949917602871033))-π/2
    2×atan(0.386772891117372)-π/2
    2×0.369051951276134-π/2
    0.738103902552268-1.57079632675     		φ = -0.83269242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84450436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.386536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83269242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.709761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83153 KachelY 85352 0.84450436 -0.83269242 48.386536 -47.709761
    Oben rechts KachelX + 1 83154 KachelY 85352 0.84455230 -0.83269242 48.389282 -47.709761
    Unten links KachelX 83153 KachelY + 1 85353 0.84450436 -0.83272468 48.386536 -47.711610
    Unten rechts KachelX + 1 83154 KachelY + 1 85353 0.84455230 -0.83272468 48.389282 -47.711610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83269242--0.83272468) × R
    3.22600000000062e-05 × 6371000     		dl = 205.528460000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83269242--0.83272468) × R
    3.22600000000062e-05 × 6371000     		dr = 205.528460000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84450436-0.84455230) × cos(-0.83269242) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.672886495161467 × 6371000     		do = 205.516855721039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84450436-0.84455230) × cos(-0.83272468) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.672862630613655 × 6371000     		du = 205.509566873863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83269242)-sin(-0.83272468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672886495161467-0.672862630613655)×R²
    abs(0.84455230-0.84450436)×2.38645478115584e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38645478115584e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38645478115584e-05×40589641000000     		ar = 42238.8138313014m²