Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83138 / 85376
↖ ↑ ↗
← S 47.754098°
E 48.345337°		 ← 205.30 m → S 47.754098°
E 48.348083°		 →
↑
205.34 m
↓
↑
205.34 m
↓
S 47.755945°
E 48.345337°		 ← 205.29 m →
42 155 m²		 S 47.755945°
E 48.348083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634296417236328 y=0.651371002197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634296417236328 × 217)
    floor (0.634296417236328 × 131072)
    floor (83138.5)     		tx = 83138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651371002197266 × 217)
    floor (0.651371002197266 × 131072)
    floor (85376.5)     		ty = 85376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83138 / 85376 ti = "17/83138/85376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83138/85376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83138 ÷ 217
    83138 ÷ 131072     		x = 0.634292602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85376 ÷ 217
    85376 ÷ 131072     		y = 0.6513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634292602539062 × 2 - 1) × π
    0.268585205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84378531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6513671875 × 2 - 1) × π
    -0.302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.951068088461914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84378531} λ = 0.84378531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.951068088461914))-π/2
    2×atan(0.386328170350668)-π/2
    2×0.368665042873892-π/2
    0.737330085747784-1.57079632675     		φ = -0.83346624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84378531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.345337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83346624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.754098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83138 KachelY 85376 0.84378531 -0.83346624 48.345337 -47.754098
    Oben rechts KachelX + 1 83139 KachelY 85376 0.84383324 -0.83346624 48.348083 -47.754098
    Unten links KachelX 83138 KachelY + 1 85377 0.84378531 -0.83349847 48.345337 -47.755945
    Unten rechts KachelX + 1 83139 KachelY + 1 85377 0.84383324 -0.83349847 48.348083 -47.755945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83346624--0.83349847) × R
    3.22299999999665e-05 × 6371000     		dl = 205.337329999786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83346624--0.83349847) × R
    3.22299999999665e-05 × 6371000     		dr = 205.337329999786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84378531-0.84383324) × cos(-0.83346624) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.672313863706238 × 6371000     		do = 205.299126218606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84378531-0.84383324) × cos(-0.83349847) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.672290004576951 × 6371000     		du = 205.291840546453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83346624)-sin(-0.83349847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672313863706238-0.672290004576951)×R²
    abs(0.84383324-0.84378531)×2.38591292872625e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38591292872625e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38591292872625e-05×40589641000000     		ar = 42154.8264223719m²