Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83108 / 85399
↖ ↑ ↗
← S 47.796552°
E 48.262939°		 ← 205.17 m → S 47.796552°
E 48.265686°		 →
↑
205.15 m
↓
↑
205.15 m
↓
S 47.798397°
E 48.262939°		 ← 205.17 m →
42 090 m²		 S 47.798397°
E 48.265686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634067535400391 y=0.651546478271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634067535400391 × 217)
    floor (0.634067535400391 × 131072)
    floor (83108.5)     		tx = 83108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651546478271484 × 217)
    floor (0.651546478271484 × 131072)
    floor (85399.5)     		ty = 85399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83108 / 85399 ti = "17/83108/85399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83108/85399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83108 ÷ 217
    83108 ÷ 131072     		x = 0.634063720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85399 ÷ 217
    85399 ÷ 131072     		y = 0.651542663574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634063720703125 × 2 - 1) × π
    0.26812744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.84234720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651542663574219 × 2 - 1) × π
    -0.303085327148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.952170637153175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84234720} λ = 0.84234720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.952170637153175))-π/2
    2×atan(0.385902459458669)-π/2
    2×0.368294564731874-π/2
    0.736589129463748-1.57079632675     		φ = -0.83420720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84234720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.262939°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83420720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.796552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83108 KachelY 85399 0.84234720 -0.83420720 48.262939 -47.796552
    Oben rechts KachelX + 1 83109 KachelY 85399 0.84239514 -0.83420720 48.265686 -47.796552
    Unten links KachelX 83108 KachelY + 1 85400 0.84234720 -0.83423940 48.262939 -47.798397
    Unten rechts KachelX + 1 83109 KachelY + 1 85400 0.84239514 -0.83423940 48.265686 -47.798397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83420720--0.83423940) × R
    3.21999999999267e-05 × 6371000     		dl = 205.146199999533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83420720--0.83423940) × R
    3.21999999999267e-05 × 6371000     		dr = 205.146199999533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84234720-0.84239514) × cos(-0.83420720) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.671765171544514 × 6371000     		do = 205.174374625551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84234720-0.84239514) × cos(-0.83423940) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.671741318590015 × 6371000     		du = 205.167089319272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83420720)-sin(-0.83423940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671765171544514-0.671741318590015)×R²
    abs(0.84239514-0.84234720)×2.38529544990262e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38529544990262e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38529544990262e-05×40589641000000     		ar = 42089.9960189149m²