Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83105 / 85023
↖ ↑ ↗
← S 47.098175°
E 48.254700°		 ← 207.92 m → S 47.098175°
E 48.257446°		 →
↑
207.89 m
↓
↑
207.89 m
↓
S 47.100045°
E 48.254700°		 ← 207.91 m →
43 222 m²		 S 47.100045°
E 48.257446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634044647216797 y=0.648677825927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634044647216797 × 217)
    floor (0.634044647216797 × 131072)
    floor (83105.5)     		tx = 83105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648677825927734 × 217)
    floor (0.648677825927734 × 131072)
    floor (85023.5)     		ty = 85023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83105 / 85023 ti = "17/83105/85023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83105/85023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83105 ÷ 217
    83105 ÷ 131072     		x = 0.634040832519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85023 ÷ 217
    85023 ÷ 131072     		y = 0.648674011230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634040832519531 × 2 - 1) × π
    0.268081665039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.84220339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648674011230469 × 2 - 1) × π
    -0.297348022460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.934146362896034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84220339} λ = 0.84220339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.934146362896034))-π/2
    2×atan(0.392921134471473)-π/2
    2×0.374389050629683-π/2
    0.748778101259365-1.57079632675     		φ = -0.82201823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84220339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.254700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82201823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.098175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83105 KachelY 85023 0.84220339 -0.82201823 48.254700 -47.098175
    Oben rechts KachelX + 1 83106 KachelY 85023 0.84225133 -0.82201823 48.257446 -47.098175
    Unten links KachelX 83105 KachelY + 1 85024 0.84220339 -0.82205086 48.254700 -47.100045
    Unten rechts KachelX + 1 83106 KachelY + 1 85024 0.84225133 -0.82205086 48.257446 -47.100045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82201823--0.82205086) × R
    3.2630000000089e-05 × 6371000     		dl = 207.885730000567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82201823--0.82205086) × R
    3.2630000000089e-05 × 6371000     		dr = 207.885730000567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84220339-0.84225133) × cos(-0.82201823) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.680744198412356 × 6371000     		do = 207.916800550664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84220339-0.84225133) × cos(-0.82205086) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.680720295882583 × 6371000     		du = 207.909500102821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82201823)-sin(-0.82205086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680744198412356-0.680720295882583)×R²
    abs(0.84225133-0.84220339)×2.39025297726903e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39025297726903e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39025297726903e-05×40589641000000     		ar = 43222.1770361413m²