Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8300 / 8021
↖ ↑ ↗
← N  3.754634°
E  2.373047°		 ← 2 438.03 m → N  3.754634°
E  2.395020°		 →
↑
2 438.05 m
↓
↑
2 438.05 m
↓
N  3.732708°
E  2.373047°		 ← 2 438.10 m →
5 944 135 m²		 N  3.732708°
E  2.395020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506622314453125 y=0.489593505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506622314453125 × 214)
    floor (0.506622314453125 × 16384)
    floor (8300.5)     		tx = 8300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.489593505859375 × 214)
    floor (0.489593505859375 × 16384)
    floor (8021.5)     		ty = 8021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8300 / 8021 ti = "14/8300/8021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8300/8021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8300 ÷ 214
    8300 ÷ 16384     		x = 0.506591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8021 ÷ 214
    8021 ÷ 16384     		y = 0.48956298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.506591796875 × 2 - 1) × π
    0.01318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04141748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48956298828125 × 2 - 1) × π
    0.0208740234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0655776786802368
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04141748} λ = 0.04141748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0655776786802368))-π/2
    2×atan(1.06777567749753)-π/2
    2×0.818163526943523-π/2
    1.63632705388705-1.57079632675     		φ = 0.06553073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04141748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.373047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.06553073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.754634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8300 KachelY 8021 0.04141748 0.06553073 2.373047 3.754634
    Oben rechts KachelX + 1 8301 KachelY 8021 0.04180098 0.06553073 2.395020 3.754634
    Unten links KachelX 8300 KachelY + 1 8022 0.04141748 0.06514805 2.373047 3.732708
    Unten rechts KachelX + 1 8301 KachelY + 1 8022 0.04180098 0.06514805 2.395020 3.732708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.06553073-0.06514805) × R
    0.000382679999999996 × 6371000     		dl = 2438.05427999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.06553073-0.06514805) × R
    0.000382679999999996 × 6371000     		dr = 2438.05427999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04141748-0.04180098) × cos(0.06553073) × R
    0.000383500000000002 × 0.997853629969993 × 6371000     		do = 2438.03432025265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04141748-0.04180098) × cos(0.06514805) × R
    0.000383500000000002 × 0.997878616260019 × 6371000     		du = 2438.09536871787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.06553073)-sin(0.06514805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997853629969993-0.997878616260019)×R²
    abs(0.04180098-0.04141748)×2.49862900257858e-05×R²
    0.000383500000000002×2.49862900257858e-05×6371000²
    0.000383500000000002×2.49862900257858e-05×40589641000000     		ar = 5944134.50155503m²