Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 830 / 960
↖ ↑ ↗
← S 82.676285°
E111.796875°		 ← 4 983.26 m → S 82.676285°
E112.148438°		 →
↑
4 968.11 m
↓
↑
4 968.11 m
↓
S 82.720964°
E111.796875°		 ← 4 953.02 m →
24 682 253 m²		 S 82.720964°
E112.148438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81103515625 y=0.93798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81103515625 × 210)
    floor (0.81103515625 × 1024)
    floor (830.5)     		tx = 830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93798828125 × 210)
    floor (0.93798828125 × 1024)
    floor (960.5)     		ty = 960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 830 / 960 ti = "10/830/960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/830/960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 830 ÷ 210
    830 ÷ 1024     		x = 0.810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 960 ÷ 210
    960 ÷ 1024     		y = 0.9375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810546875 × 2 - 1) × π
    0.62109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95122356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9375 × 2 - 1) × π
    -0.875 × 3.1415926535     		Φ = -2.7488935718125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95122356} λ = 1.95122356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7488935718125))-π/2
    2×atan(0.0639986319384598)-π/2
    2×0.0639114703077964-π/2
    0.127822940615593-1.57079632675     		φ = -1.44297339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95122356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44297339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.676285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 830 KachelY 960 1.95122356 -1.44297339 111.796875 -82.676285
    Oben rechts KachelX + 1 831 KachelY 960 1.95735949 -1.44297339 112.148438 -82.676285
    Unten links KachelX 830 KachelY + 1 961 1.95122356 -1.44375319 111.796875 -82.720964
    Unten rechts KachelX + 1 831 KachelY + 1 961 1.95735949 -1.44375319 112.148438 -82.720964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44297339--1.44375319) × R
    0.000779800000000108 × 6371000     		dl = 4968.10580000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44297339--1.44375319) × R
    0.000779800000000108 × 6371000     		dr = 4968.10580000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95122356-1.95735949) × cos(-1.44297339) × R
    0.0061359299999999 × 0.127475144203388 × 6371000     		do = 4983.25961577448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95122356-1.95735949) × cos(-1.44375319) × R
    0.0061359299999999 × 0.126701667315055 × 6371000     		du = 4953.02284949778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44297339)-sin(-1.44375319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127475144203388-0.126701667315055)×R²
    abs(1.95735949-1.95122356)×0.000773476888333208×R²
    0.0061359299999999×0.000773476888333208×6371000²
    0.0061359299999999×0.000773476888333208×40589641000000     		ar = 24682252.5238295m²