Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8294 / 8342
↖ ↑ ↗
← S  3.294082°
E  2.241211°		 ← 2 439.24 m → S  3.294082°
E  2.263184°		 →
↑
2 439.20 m
↓
↑
2 439.20 m
↓
S  3.316018°
E  2.241211°		 ← 2 439.19 m →
5 949 735 m²		 S  3.316018°
E  2.263184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506256103515625 y=0.509185791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506256103515625 × 214)
    floor (0.506256103515625 × 16384)
    floor (8294.5)     		tx = 8294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509185791015625 × 214)
    floor (0.509185791015625 × 16384)
    floor (8342.5)     		ty = 8342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8294 / 8342 ti = "14/8294/8342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8294/8342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8294 ÷ 214
    8294 ÷ 16384     		x = 0.5062255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8342 ÷ 214
    8342 ÷ 16384     		y = 0.5091552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5062255859375 × 2 - 1) × π
    0.012451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03911651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5091552734375 × 2 - 1) × π
    -0.018310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0575242795440674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03911651} λ = 0.03911651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0575242795440674))-π/2
    2×atan(0.944098967815655)-π/2
    2×0.756651873040524-π/2
    1.51330374608105-1.57079632675     		φ = -0.05749258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03911651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.241211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05749258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.294082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8294 KachelY 8342 0.03911651 -0.05749258 2.241211 -3.294082
    Oben rechts KachelX + 1 8295 KachelY 8342 0.03950001 -0.05749258 2.263184 -3.294082
    Unten links KachelX 8294 KachelY + 1 8343 0.03911651 -0.05787544 2.241211 -3.316018
    Unten rechts KachelX + 1 8295 KachelY + 1 8343 0.03950001 -0.05787544 2.263184 -3.316018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05749258--0.05787544) × R
    0.000382859999999999 × 6371000     		dl = 2439.20105999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05749258--0.05787544) × R
    0.000382859999999999 × 6371000     		dr = 2439.20105999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03911651-0.03950001) × cos(-0.05749258) × R
    0.000383500000000002 × 0.998347756807638 × 6371000     		do = 2439.24160973134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03911651-0.03950001) × cos(-0.05787544) × R
    0.000383500000000002 × 0.998325684153382 × 6371000     		du = 2439.18768008976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05749258)-sin(-0.05787544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998347756807638-0.998325684153382)×R²
    abs(0.03950001-0.03911651)×2.20726542562444e-05×R²
    0.000383500000000002×2.20726542562444e-05×6371000²
    0.000383500000000002×2.20726542562444e-05×40589641000000     		ar = 5949735.02011016m²