Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 829 / 962
↖ ↑ ↗
← S 82.765373°
E111.445313°		 ← 4 922.96 m → S 82.765373°
E111.796875°		 →
↑
4 908.03 m
↓
↑
4 908.03 m
↓
S 82.809512°
E111.445313°		 ← 4 893.08 m →
24 088 697 m²		 S 82.809512°
E111.796875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81005859375 y=0.93994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81005859375 × 210)
    floor (0.81005859375 × 1024)
    floor (829.5)     		tx = 829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93994140625 × 210)
    floor (0.93994140625 × 1024)
    floor (962.5)     		ty = 962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 829 / 962 ti = "10/829/962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/829/962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 829 ÷ 210
    829 ÷ 1024     		x = 0.8095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 962 ÷ 210
    962 ÷ 1024     		y = 0.939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8095703125 × 2 - 1) × π
    0.619140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.94508764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.939453125 × 2 - 1) × π
    -0.87890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.76116541811523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94508764} λ = 1.94508764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.76116541811523))-π/2
    2×atan(0.0632180499509773)-π/2
    2×0.0631340338832816-π/2
    0.126268067766563-1.57079632675     		φ = -1.44452826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94508764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.445313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44452826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.765373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 829 KachelY 962 1.94508764 -1.44452826 111.445313 -82.765373
    Oben rechts KachelX + 1 830 KachelY 962 1.95122356 -1.44452826 111.796875 -82.765373
    Unten links KachelX 829 KachelY + 1 963 1.94508764 -1.44529863 111.445313 -82.809512
    Unten rechts KachelX + 1 830 KachelY + 1 963 1.95122356 -1.44529863 111.796875 -82.809512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44452826--1.44529863) × R
    0.000770369999999909 × 6371000     		dl = 4908.02726999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44452826--1.44529863) × R
    0.000770369999999909 × 6371000     		dr = 4908.02726999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94508764-1.95122356) × cos(-1.44452826) × R
    0.00613592000000018 × 0.125932805725766 × 6371000     		do = 4922.95848135876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94508764-1.95122356) × cos(-1.44529863) × R
    0.00613592000000018 × 0.125168531522629 × 6371000     		du = 4893.08151523599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44452826)-sin(-1.44529863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125932805725766-0.125168531522629)×R²
    abs(1.95122356-1.94508764)×0.000764274203136628×R²
    0.00613592000000018×0.000764274203136628×6371000²
    0.00613592000000018×0.000764274203136628×40589641000000     		ar = 24088697.1846699m²