Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8287 / 8346
↖ ↑ ↗
← S  3.381824°
E  2.087402°		 ← 2 439.02 m → S  3.381824°
E  2.109375°		 →
↑
2 438.95 m
↓
↑
2 438.95 m
↓
S  3.403758°
E  2.087402°		 ← 2 438.97 m →
5 948 580 m²		 S  3.403758°
E  2.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505828857421875 y=0.509429931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505828857421875 × 214)
    floor (0.505828857421875 × 16384)
    floor (8287.5)     		tx = 8287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509429931640625 × 214)
    floor (0.509429931640625 × 16384)
    floor (8346.5)     		ty = 8346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8287 / 8346 ti = "14/8287/8346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8287/8346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8287 ÷ 214
    8287 ÷ 16384     		x = 0.50579833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8346 ÷ 214
    8346 ÷ 16384     		y = 0.5093994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50579833984375 × 2 - 1) × π
    0.0115966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03643204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5093994140625 × 2 - 1) × π
    -0.018798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0590582603319092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03643204} λ = 0.03643204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0590582603319092))-π/2
    2×atan(0.942651848347703)-π/2
    2×0.755886183946505-π/2
    1.51177236789301-1.57079632675     		φ = -0.05902396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03643204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.087402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05902396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.381824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8287 KachelY 8346 0.03643204 -0.05902396 2.087402 -3.381824
    Oben rechts KachelX + 1 8288 KachelY 8346 0.03681554 -0.05902396 2.109375 -3.381824
    Unten links KachelX 8287 KachelY + 1 8347 0.03643204 -0.05940678 2.087402 -3.403758
    Unten rechts KachelX + 1 8288 KachelY + 1 8347 0.03681554 -0.05940678 2.109375 -3.403758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05902396--0.05940678) × R
    0.000382819999999999 × 6371000     		dl = 2438.94621999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05902396--0.05940678) × R
    0.000382819999999999 × 6371000     		dr = 2438.94621999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03643204-0.03681554) × cos(-0.05902396) × R
    0.000383500000000002 × 0.998258591724924 × 6371000     		do = 2439.0237546018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03643204-0.03681554) × cos(-0.05940678) × R
    0.000383500000000002 × 0.998235936142686 × 6371000     		du = 2438.96840070481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05902396)-sin(-0.05940678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998258591724924-0.998235936142686)×R²
    abs(0.03681554-0.03643204)×2.2655582237574e-05×R²
    0.000383500000000002×2.2655582237574e-05×6371000²
    0.000383500000000002×2.2655582237574e-05×40589641000000     		ar = 5948580.33683503m²